Bạn đang xem bài viết Các Bài Tập Với Dây Ngũ Sắc Tập Gym Full Body New 100% được cập nhật mới nhất tháng 10 năm 2023 trên website Zlmn.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Ngoài ra trong quá trình tập luyện việc hít thở cũng cực kỳ quan trọng. Ngoài giúp cho bạn giữ sức và tập được nhiều hơn thì hít thở đều giúp cho cơ phát triển đồng đều hơn rất nhiều.
Để tập tay với dây ngũ sắc các bạn làm theo hướng dẫn sau :
Hướng dẫn:
Bước 1 : Đầu tiên đứng thẳng lưng, 2 chân của bạn đặt lên vị trí giữa của dây. 2 tay cầm lấy tay cầm.
Bước 2 : Dùng lực của cơ tay để kéo dây lên vị trí trước ngực thì dừng lại 1 giây
Bước 3 : Bạn trở lại vị trí ban đầu.
Bước 4 : Làm liên tục 20 – 30 cái thì dừng lại. Nhớ hít thì kéo lên, thở ra thì thả dây xuống.
Hướng dẫn:
Bước 1 : Đứng thẳng lưng, chân phải giữ giữa dây, 2 tay cầm lấy 2 cầm và đặt ở vị trí song song với vai.
Bước 2 : Dùng lực của vai để đẩy dây lên tới vị trí 2 tay gần chạm nhau, giữ trong khoảng 2 giây.
Bước 3 : Trở lại tư thế ban đầu. Làm liên tục 20 cái, hít thì kéo, thu dây thì thở ra.
Làm liên tục 20 cái thì dừng lại. Kéo lên thì hít vào, thả xuống thì thở ra.
Hướng dẫn :
Bước 1 : Cột dây vào vị trí trên cao làm sao đôi dây chia đôi, tiếp đó 2 tay đặt vào 2 tay cầm, chân hơi khụy xuống 1 chút.
Bước 2 : Dùng lực kéo dây về cho tới khi sát ngực thì hãy dừng lại 1 giây.
Bước 3 : Thu dây về vị trí cũ. Làm liên tục 20 cái, hít thì kéo, thu dây thì thở ra.
Lưu ý ở bài tập với lưng thì lưng luôn phải thẳng và đôi mắt nhìn về phía trước.
Hướng dẫn:
Bước 1 : Chống tay cùng với chân xuống đất, chân trái luồn qua 1 tay cầm, tay phải giữ 1 đầu dây. Ở chỗ giữ dây muốn nặng thì thu ngắn lại, nhẹ thì để dây dài ra.
Dùng cơ chân cùng với mông đẩy dây về phía sau tới vị trí căng và chân lúc này duỗi thẳng, giữ 1 giây.
Tiếp đó, bạn trở lại vị trí cũ, làm liên tục 20 cái, hít vào thở ra đều đặn.
Bước 1 : Nằm ngửa trên thảm, dùng dây ngũ sắc chia đôi lại, phần giữa thì để vào đáy giầy tay cầm 2 tay nắm của dây.
Bước 2 : Dùng lực thu chân về đồng thời siết chặt cơ bụng của mình.
Bước 3 : Làm đi làm lại 20 lần trở lên
Hướng dẫn:
Bước 1 : Cột dây vào vị trí trên cao làm sao mà dây chia đôi, 2 tay đặt vào 2 tay cầm vòng qua người.
Bước 2 : Dùng lực đẩy lên phía trước, gồng – ép cơ ngực lại.
Bước 3 : Trở về vị trí cũ.
Lưu ý : Nâng độ nặng bằng cách ghép 2 dây lại với nhau.
Thông tin liên hệ :
►SDT/Zalo : 0327832700
4.1/5 – (8 bình chọn)
10 Phòng Tập Thể Hình, Phòng Tập Gym Cần Thơ Tốt Nhất Cho Body Săn Chắc
Ngày nay, nhu cầu tập gym với mong muốn chăm sóc sức khỏe hay để có được một thân hình như ý đã dần trở thành một thói quen lành mạnh và bổ ích cho các bạn đam mê thể thao. Tuy nhiên, để có thể tìm kiếm một phòng tập gym tốt, uy tín phù hợp với mỗi người không phải là một việc dễ dàng giữa rất nhiều phòng tập gym trên thị trường hiện nay. Hiểu được điều đó, bài viết xin tổng hợp top 10 phòng tập gym cần thơ tốt nhất, uy tín nhất được nhiều người bình chọn.
1.Phòng tập gym Vũ Lâm Cần Thơ
Địa chỉ phòng tập gym Cần Thơ đầu tiên mà bài viết muốn giới thiệu là phòng gym Vũ Lâm. Phòng có không gian tương đối rộng, có đầy đủ các loại máy để bạn tập luyện từ máy chạy bộ, máy tập mông cho tới máy tập đùi…các huấn luyện viên ở đây thì rất nhiệt tình, thân thiện sẽ sẵn sang giúp đỡ bạn khi bạn gặp khó khăn trong quá trình tập luyện của mình, và sẽ hướng dẫn những bài tập phù hợp dành cho bạn.
Phòng còn có bán các thực phẩm chức năng hỗ trợ cho bạn có được việc tập luyện đạt hiệu quả nhanh chóng.
Địa chỉ: 65 Ngô Quyền, Cần Thơ.
Đây là một trong những phòng gym Cần Thơ tốt nhất. Không gian phòng tập rất thoáng mát ngay cả vào buổi trưa oi bực phòng tập vẫn mát mẻ.
Phòng trang bị các thiết bị luyện tập hiện đại, có đủ các thiết bị luyện tập từ cơ bản cho tới nâng cao. có chỗ để bạn có thể tắm trước và sau khi tập nếu bạn muốn. phòng tập có bán nước uống và hệ thống các máy massage giúp bạn thư giãn tối đa sau những giờ làm việc mệt nhọc.
Địa chỉ: số 53 đường 3/2, P. Hưng Lợi, Q. Ninh Kiều, Cần Thơ
Phòng được trang bị các thiết bị luyện tập mới, hiện đại, có đủ các loại máy tập luyện cho cả Nam và nữ cùng với đó là không gian tập luyện lớn, huấn luyện viên có chuyên môn giỏi, thân thiện, tận tình hướng dẫn cho bạn cách tập luyện.
Địa chỉ: 19/4 Mậu Thân, Xuân Khánh, Ninh Kiều, Cần Thơ
4. Phòng tập Kingsport Fitness Cần ThơĐến với phòng gym Cần Thơ này bạn sẽ được tập luyện trong phòng tập có không gian rộng lớn, thoáng mát, trang trí hiệ đại, máy móc tập luyện tân tiến được nhập khẩu từ nước ngoài.
Các huấn luyện viên ở đây giàu kinh nghiệm sẽ đưa ra những phương thức tập luyện tối ưu nhất dành cho bạn. Phòng tập còn có các chương trình khuyến mãi hấp dẫn thu hút được rất nhiều khách hàng đến với mình.
Địa chỉ: 279A Nguyễn Văn Cừ, Phường An Bình, Quận Ninh Kiều, Cần Thơ
5. Phòng tập California Fitness & Yoga Cần ThơĐiểm tạo ấn tượng đầu tiên cho những người tập gym khi đến với phòng gym Cần Thơ này là một không gian tập luyện sang trọng, hiện đại rất đẹp mắt. máy móc tập luyện thì được nhập khẩu chính hãng.
Huấn luyện viên là những người được đào tạo kỹ thuật giảng dạy tập luyện khoa học, giàu kinh nghiệm sẽ giúp cho người tập tìm ra được phương thức tập luyện phù hợp nhất mang lại hiệu quả mong muốn nhanh nhất cho người tập luyện.
Ngoài gym, phòng tập còn có các bộ môn như yoga, group X …rất đa dạng giúp cho bạn có thể thoải mái lựa chọn bộ môn tập luyện mình yêu thích.
Địa chỉ: Vincom Xuân Khánh, 209 Đường 30 Tháng 4, Cần Thơ
6. Phòng gym Tho Khang Cần ThơGym Tho Khang có view rất hiện đại và đẹp mắt, cộng thêm những miếng tạ đủ màu sắc càng làm cho phòng tập trở nên bắt mắt hơn.
Những thiết bị tập luyện thì được nhập khẩu từ nước ngoài rất hiện đại, tân tiến. Đội ngũ huấn luyện viên nhiệt tình, tận tâm trong việc hướng dẫn cho khách hàng tập luyện.
Đặc biệt phòng tập còn có dịch vụ huấn luyện viên cá nhân dành cho những ai có nhu cầu muốn tập luyện riêng cùng với huấn luyện viên của mình để đạt được kết quả tập luyện nhanh hơn. Phòng tập luôn được dọn vệ sinh hằng ngày nên rất sạch sẽ.
Địa chỉ: bên hông bệnh viện phụ sản Cần Thơ, Đường Tôn Thất Tùng, Cần Thơ
7. Phòng tập Vip gymPhòng tập gym Cần Thơ tiếp theo mà bài viết muốn giới thiệu là phòng tập vip gym. Phòng tập gồm có 2 phòng, có không gian thoáng mát.
Hệ thống máy tập rất hiện đại, đạt tiêu chuẩn chất lượng của quốc tế. Huấn luyện viên chuyên nghiệp, được đào tạo có bằng cấp hẳn hoi sẽ giúp cho bạn có được phương pháp tập luyện an toàn và hiệu quả.
Địa chỉ: Số 3 Lê Lợi, Cái Khế, Ninh Kiều, Cần Thơ.
8. Phòng gym SportDragonĐây là phòng gym Cần Thơ đạt chuẩn, phòng trang bị các thiết bị tập luyện tốt nhất, hiện đại nhất được nhậu khẩu hoàn toàn.
Nếu bạn là người mới bắt đầu tập luyện, và không biết phải bắt đầu tập từ đâu và tập như thế nào thì đừng lo, khi đến với phòng tập bạn sẽ được các huấn luyện viên với nhiều năm kinh nghiệm, giỏi chuyên môn sẽ tận tình hướng dẫn bạn để bạn có được cách tập luyện an toàn và phù hợp với cơ thể nhất.
Địa chỉ: 23 Lý Tự Trọng, Ninh Kiều, Cần Thơ
9. CLB gym Đắc LuyệnPhòng tập gym Cần Thơ Đắc luyện trang bị cho mình hệ thống máy móc tập luyện đẹp mắt được thiết kế 100% bằng inox sáng bóng rất hiện đại và mang tầm đẳng cấp, đạt chuẩn phòng tập thể hình quốc tế.
Một điều rất thú vị và thu hút rất nhiều bạn trẻ đến đây là phòng tập có trang bị các máy tập phát triển chiều cao một cách toàn diện trong khoảng thời gian ngắn nhất.
Ngoài ra ở đây còn có khu hồ bơi liên hợp, cùng đội ngũ huấn luyện viên giỏi đã đạt được rất nhiều giải thưởng trong bộ môn thể dục thể hình sẽ hướng dẫn cho bạn cách tập luyện tận tình và chu đáo.
Địa chỉ: Hồ bơi quốc phòng quân khu 9, phi trường 31, đường cách mạng tháng 8, quận Bình Thủy, Cần Thơ.
10. CLB Gym 3/2Địa chỉ: số 229 đường 3/2, phường An Khánh, quận Ninh Kiều, Cần Thơ.
CLB gym Cần Thơ này chia ra làm 3 khu vực tập riêng biệt gồm một khu dành cho các bạn nữ tập luyện tự do; một khu dành cho các bạn nữ tập cardio và các bài tập luyện chức năng cơ; và một khu tập dành riêng cho các bạn Nam.
Hệ thống máy móc tập luyện ở đây rất đa dạng phục vụ mọi nhu cầu tập luyện cho người tập. Không gian tập luyện thì sạch sẽ, thoáng mát, sắp xếp gọn gang. Các huấn luyện viên thì rất thân thiện, nhiệt tình sẽ giúp đỡ bạn trong suốt quá trình tập luyện.
Mỗi một người khi tập luyện gym đều có những mục đích khác nhau. Tuy nhiên, vẫn có chung một mục đích đó là nâng cao sức khỏe, thư giãn cơ thể sau những giờ làm việc căng thẳng.
Qua bài viết top 10 phòng tập gym Cần Thơ tốt nhất, uy tín nhất hy vọng có thể giúp cho bạn có được sự lựa chọn đúng đắn nhất, phù hợp nhất.
Tú Trinh
Đăng bởi: Thào Lý
Từ khoá: 10 Phòng tập thể hình, phòng tập gym Cần Thơ tốt nhất cho body săn chắc
7 Nguyên Tắc Lựa Chọn Bài Tập Khi Lên Lịch Tập Gym
Nhỏ bé, yếu đuối và bị chấn thương là những thứ sẽ khiến bạn gặp khó khăn rất nhiều trong cuộc sống này và khi bạn thiết kế 1 lịch tập gym sai cách thì bạn sẽ mắc phải những vấn đề này ngay mà thôi.
Để lựa chọn được các bài tập không phải là điều dễ dàng với những người không có nhiều kinh nghiệm, bởi vì có với hàng trăm bài tập và chúng còn có biến thể khác nữa.
May mắn cho chúng ta là có 1 vài tiêu chí đánh giá để lựa chọn các bài tập cho hợp lý giữa các nhóm cơ có cùng chung một mục đích cho phép bạn đưa ra lựa chọn nên tập bài nào sẽ tốt hơn ví dụ như tập Over Head Extension cho tay sau sẽ tốt hơn là tập Press Down.
1. Yếu tố giới hạn (limit factor)Một bài tập sẽ có hiệu quả đối với 1 nhóm cơ khi mà nhóm cơ đó đạt đến giới hạn của mình (chưa tính đến các yếu tố khác)
Nếu việc cầm nắm thường là điểm yếu của bạn khi tập Deadlift thì nhóm cơ phía sau cơ thể (gọi chung là Posterior chain) sẽ không được kích hoạt khiến cho bài tập trở thành 1 bài tập không tối ưu cho thân dưới.
Tương tự, phần ngực dưới và cơ Long Head (đầu dài) của tay sau sẽ được kích hoạt khi thực hiện bài hít xà (pull up) nhưng chúng sẽ không giới hạn hiệu suất của bạn khi nâng tạ do vậy hít xà không phải là bài tập hiệu quả cho phần cơ thể này.
Tiêu chí này có thể loại bỏ tất cả bài tập mang tính không ổn định ra khỏi lịch tập của các bạn. Những bài tập đứng không ổn định sẽ làm bạn mất thăng bằng mà cụ thể hơn là các nhóm cơ ở chân của bạn bị hạn chế với các bài tập như thế.
Nguyên tắc này cũng áp dụng cho các bài tập nâng tạ không ổn định. Single-arm barbell overhead presses vì cơ cẳng tay và cơ rotator cuff sẽ sớm bị mỏi trước khi cơ vai thật sự đạt được sự kích thích cần thiết.
2. Các bài tập đa nhóm cơ (Compound)Đối với bất kỳ sự lựa chọn nào cho các nhóm cơ, một bài tập compound là lựa chọn tốt hơn nhiều so với 1 bài tập Isolated (chỉ dùng 1 nhóm cơ) miễn là bài tập compound đó đáp ứng các tiêu chí khác cho nhóm cơ bạn tập.
Điều này là hợp lý bởi vì không có lý gì mà trong cùng 1 lúc ta có thể tập vài nhóm cơ 1 liền thì việc gì phải tách riêng ra để tập từng nhóm làm gì?
Các bài tập compound sẽ yêu cầu sự tập trung, nội tiết tố, hô hấp trên cơ thể bạn cao hơn nhiều so với bài tập isolated.
Nhờ tập được nhiều nhóm cơ cùng lúc tốt hơn cho nên cơ bắp họ tập cũng phát triển hơn những người chỉ tập các bài isolated. Đó là lý do tại sao những người tập Bench Press có ngực lớn hơn những người tập Dumbbell Fly hoặc Skull Crushers.
Các bài tập compound cũng cho phép cơ thể bạn lan truyền lực tốt hơn nhờ sự tham gia của nhiều khớp, nhờ đó giúp khớp khỏe hơn và mạnh hơn. Về cơ bản thì đó là cách để cơ thể bạn di chuyển cơ thể nhiều hơn là chỉ tập Isolated.
Điều đó không có nghĩa là các bài tập Isolated là vô dụng. Nó vẫn có giá trị của riêng mình nhưng để cạnh tranh với các bài tập Compound thì nó không có cửa và không bao giờ được ưu tiên lựa chọn trong việc tập để trông lớn hơn và mạnh hơn.
Bạn có thể tập các bài Curl trong lịch tập của mình nhưng chỉ khi nó đi kèm với các bài kéo compound khác.
Nhưng bạn cần phải lưu ý về định nghĩa của nguyên tắc này là: Với bất kỳ phần cơ thể nào, các bài tập compound luôn vượt trội hơn Isolated với điều kiện các bài compound thỏa mãn các tiêu chí đánh giá còn lại cho phần cơ thể mà bạn tập.
Điều này có nghĩa là chin up sẽ tốt hơn so với việc tập kết hợp 2 bài Scott preacher curls và straight-arm pulldowns vì Chin up sẽ tập thêm cả cơ xô và cơ tay trước dựa theo tiêu chí của tập compound và các tiêu chí khác (tiếp theo ở dưới).
Tuy nhiên, khi tập tay sau thì bài Bench Press sẽ không tốt hơn bài Overhead Extensions vì nó không tạo biên độ đầy đủ cho cơ Long Head của tay sau nên nó sẽ không được kích hoạt đủ.
Như vậy, Overhead Extension và Bench Press không thể so sánh bằng chỉ tiêu compound. Chúng khác nhau hoàn toàn, bạn có thể hiểu cả 2 như là cái búa và một cái tuốc nơ vít. Cả 2 đều là công cụ hữu ích nhưng không thể làm tốt công việc của công cụ còn lại.
3. Biên độ chuyển động (Range of Motion – ROM)Bài tập bạn thực hiện càng đi hết được biên độ của nó thì bài đó càng tốt (chưa nói đến các tiêu chí khác).
Việc tập đủ ROM sẽ cho kết quả tối ưu hơn so với tập 1 phần ROM trong vệc xây dựng sức mạnh và đã được kiểm chứng qua nhiều lần thực nghiệm.
Tập đủ ROM sẽ làm tăng tính “di động” của hình thức chuyển động và như vậy sẽ hiệu quả hơn so với kéo căng cơ cơ bản.
Tập đủ ROM sẽ làm tăng sự phức tạp của bài tập lên. Partial squats (Squat 1 nửa) có thể chỉ hiệu quả cho 1 phần của đùi trước và có thể là phần sống lưng nhưng nếu tập Full Squat thì sẽ cho cả các cơ ở phía sau cơ thể nữa (posterior chain).
Cuối cùng là tập đủ ROM sẽ dễ dàng hơn cho hệ thần kinh và các khớp do bạn sẽ cần phải dùng mức tạ nhẹ hơn.
Nếu mức tạ thấp hơn có làm cho bài tập trở nên tốt hơn không ? Câu trả lời là CÓ bởi vì nếu dùng mức tạ tối đa thì mọi người sẽ chỉ tập Isolated hoặc Eccentric.
Và thực tế rõ ràng là không phải như vậy, chúng ta đều biết rằng, Bench Press tốt nhất là để thanh tạ chạm nhẹ ngực hoặc Squat thì nên squat xuống sâu hết cỡ (ATG).
Ít người biết rằng nguyên lý về ROM có thể áp dụng cho tất cả các bài tập.
Với hầu hết các chuyển động kéo hoặc đẩy thì dù cho bạn đang nắm cái gì khi tập (thanh đòn, tạ đơn, cáp) thì nó cũng nên chạm vào bạn ở 1 điểm nào đó bao gồm cả bài Pull Up, Row, Overhead Press.
Nguyên lý ROM cũng chỉ ra rằng vị trí tay cầm tối ưu nhất là vị trí rộng bằng vai.
Đây là vị trí mà cơ thể bạn phát huy được ROM đẩy đủ nhất trừ 1 số trường hợp tay bạn sẽ trở thành thứ cản trở ROM, ví dụ như bài Military press thì bạn sẽ cần phải sử dụng tay rộng hơn.
Tóm lại, việc rút ngắn ROM khi tập cần có lý do chính đáng, và việc tập ROM ngắn hơn để dùng mức tạ cao hơn không làm bạn trở nên “Pro” hơn trong mắt người khác đâu.
4. Phân bổ căng thẳngBài tập càng mang lại sự căng thẳng cho nhóm cơ mục tiêu và ít căng thẳng cho các mô ngoại biên thì càng tốt.
Các bài tập nhắm vào các mục tiêu cụ thể sẽ kích thích cơ bắp tối đa và các thứ khác như gân, mô khác sẽ được hạn chế vì sự thích nghi của chúng là cần thiết để phát triển cơ.
Các yếu tố như mật độ xương, sức mạnh gân và tim mạch có xu hướng tự chăm sóc cho nó khi tập cường độ cao, do vậy bạn chỉ cần tập trung vào việc tăng cơ bắp của mình.
Cơ thể bạn không thích nghi về mặt cấu trúc để chống lại những thứ phía sau cơ thể bạn nên sẽ tạo ra căng thẳng không cần thiết cho cơ vai. Cho nên các bài như Dip, Behind-the-neck presses, behind-the-body side/front raises nên được loại bỏ theo tiêu chí này.
Phần core được cấu tạo để giúp bảo vệ và ổn định cột sống chứ không phải là di chuyển nó. Các chuyển động như gập là không cần thiết cho các bodybuilder. Đừng bao giờ để cong lưng, hãy giữ cho nó thẳng hoặc cong tự nhiên. Vị trí tự nhiên luôn là vị trí tối ưu để truyền lực, kích hoạt cơ core, giảm căng thẳng lên các mô ngoại biên chẳng hạn như lực cắt ngang cột sống.
Một bài tập càng ép bạn vào một chuyển động nhất định thì bài đó càng tệ, chưa nói đến các tiêu chí khác. Như vậy, tập với tạ Dumbell sẽ tốt hơn là với Barbell hoặc với máy. Tạ Dumbbell với tạ Barbell thường có sự phân bổ căng thẳng chấp nhận được, còn tập với máy thì khó mà chấp nhận được.
Các bài tập mang tính chuyển động đóng (Closed kinetic chain) sẽ tốt hơn các bài chuyển động mở (open kinetic chain), chưa tính đến các tiêu chí khác.
Làm sao để biết cái nào là đóng cái nào là mở ?. Đơn giản là bạn hãy tác động 1 lục lên 1 vật nào đó thì khi đó, một là bạn di chuyển, hai là vật di chuyển.
Nếu bạn di chuyển thì đó là đóng, còn vật di chuyển là mở.
Ví dụ bài Push up với bài Flat Dumbbell Press thì khi thực hiện Push Up thì cơ thể bạn di chuyển nên đó sẽ là đóng (Closed kinetic chain) còn bài còn lại thì tạ di chuyển nên nó sẽ là mở (Open kinetic chain).
Các bài tập đóng sẽ cho phép cấu trúc cơ thể xác định xem khớp nào sẽ chuyển động và đến một mức nào đó, điều này sẽ giảm căng thẳng lên các khớp và cho phép cho bắp làm việc thay cho khớp.
Đây là lý do tại sao Squat sẽ tốt hơn Leg Press và Pull Up sẽ tốt hơn so với Pull Down. Đó cũng là lý do tại sao các bài Row, Bench hoặc Overhead Press không phải là bài tập hoàn hảo.
5. Sự co thắt cơ bắp
Sự co cơ có cả Eccentric và Concentric
Sự co cơ chỉ với Isometric
Sự co cơ chỉ với Concentric
Sự co cơ chỉ với Contractions
Trái ngược với các quan niệm phổ biến, thứ tự về độ hiệu quả khi xây dựng cơ bắp sẽ là.
Dynamic Contraction là 1 thuật ngữ chỉ sự chuyển động có cả 2 giai đoạn concentric và eccentric, và sẽ đỡ hại khớp hơn và cho phép phát lực nhiều hơn trong giai đoạn Concentric.
Nguyên tắc này cũng cổ cố một đặc điểm có trong các nguyên tắc ở trên đó là chuyển động “tự nhiên”, có nghĩa là những chuyển động dựa theo chuyển động tự nhiên của cơ thể sẽ phát lực cao nhất. Bạn sẽ khỏe nhất ở giai đoạn Concentric khi mà trước đó có 1 chuyển động Eccentric.
Ví dụ như bạn nhảy, đá vào cửa hoặc nâng tạ nặng khi squat. Đó gần như là chuyển động tốt nhất để thực hiện hầu hết các bài tập.
6. Sức mạnh = Kháng lực (Strength Curve = Resistance Curve)Đường cong của sức mạnh càng gần với đường cong của kháng lực thì bài tập đó càng tốt, chưa nói đến các tiêu chí khác.
Bạn có biết làm thế nào bạn thường thất bại (failure) ở 1 bài tập với cùng 1 điểm? Lý tưởng nhất là điểm đó không nên tồn tại và cơ bắp bị failure nên xảy ra ở những điểm mà có thể kém phát triển và không phát đủ lực để chống lại.
Bằng cách đó, bài tập sẽ cho phép bạn phát triển tất cả các cơ khi nâng tạ 1 cách hoàn hảo và cân bằng. Chú ý là nguyên tắc này đang nói đến những người khỏe mạnh.
Nếu bạn thường xuyên không khóa khớp (lock out) được khi Deadlift thì không phải do bài Deadlift mà là do sự mất cân bằng trên cấu trúc cơ thể bạn. Khả năng cao là mông bị yếu hơn nên khó làm bạn khóa khớp hơn.
Những bài tập thỏa mãn tiêu chí này sẽ tự động cân bằng cơ thể bạn, bởi vì trong trường hợp của Deadlift thì cơ mông của bạn sẽ nhận được hiệu quả tập luyện cao hơn các nhóm có khác.
Đường cong kháng lực cho nhiều bài tập là 1 đường thẳng, điều này có nghĩ là lực không thay đổi do mức tạ không đổi, gia tốc trọng trường không đổi, trừ kho bạn đang tập trên vũ trụ.
Các bài tập đòi hỏi tạ đi theo 1 dường dọc (nghịch với chiều của trọng lực) vì thế đường cong kháng lực không đổi.
Các bài tập đi theo quỹ đạo tròn như Leg Curl, Barbell Curl thì đường cong kháng lực sẽ có điểm cực đại khi phần cơ thể di chuyển dọc và thấp nhất khi ở chiều ngang.
Ví dụ với bài Bicep Curl thì kháng lực thấp nhất sẽ ở điểm cuối của chuyển động và cao nhất là kho cánh tay song song với sàn nhà.
Mặc dù nghe có vẻ dễ dàng nhưng để xác định cho các bài tập khác thì bạn cũng cần phải giỏi vật lý 1 chút.
Vậy làm sao để xác định đường cong sức mạnh đây?
Ngoài việc tìm xem điểm mạnh nhất và yếu nhất của bạn ở đâu ra thì bạn có thể nghĩ về mối liên hệ giữa chiều dài cơ và lực căng.
Có 1 nguyên tắc nhỏ đó là cơ bắp khỏe nhất ở vị trí tự nhiên của chúng (ví dụ tư thế đứng thẳng trong quân sự) hoặc khi ở vị trí duỗi vừa phải.
Đối với các bài tập, sức kháng lực thường sẽ lớn nhất khi bắt đầu hoặc ở nửa chuyển động. Đó là lý do tại sao các bài như Overhead Press, bench Press, Squat thường sẽ bị fail ở điểm cuối của chuyển động trước khi đi lên được nửa đường. Các bài kéo thì sẽ yếu nhất khi kết thúc giai đoạn Cencentric. Đó là lý do bạn khó có thể chạm ngực được khi hít xà.
Vậy làm sao để đường cong sức mạnh = đường cong kháng lực ?
Nhiều người chọn cách là bỏ qua phần khó của bài tập đó, nhưng điều này sẽ vi phạm vào nguyên tắc đủ ROM ở trên.
Có 1 cách hữu ích đó là sử dụng dây xích hoặc dây co giãn, một số nghiên cứu đã có thấy sử dụng dây xích hoặc dây co giãn sẽ làm tăng sức mạnh và cơ bắp của bạn.
Mặc dù cũng có các nghiên cứu cho thấy không có sự khác biệt, có thể là do không xác định được trọng lượng tối ưu khi dùng dây xích hoặc dây co giãn.
Khi dùng trọng lượng dây xích quá nhiều, bạn sẽ không nhận được lợi ích, còn ít thì lại không đủ. Lượng thích hợp sẽ nằm đâu đó ở giữa 2 khoảng này và giúp cho đường cong kháng lực và sức mạnh bằng nhau.
Hầu hết mọi bài tập đều áp dụng được với dây xích và dây co giãn, nhưng bạn sẽ cần phải thử nhiều lần để tìm ra mức nặng cần thiết khi áp dụng cách này.
Nếu phòng tập của bạn không có thì có thể dựa vào stretch reflex (phản xạ căng) để tập theo nguyên tắc này.
Như đã nói trên nguyên lý co thắt thì khi cơ bắp bị kéo dài sức mạnh co cơ sẽ tăng lên. Lý thuyết phổ biến cho rằng sức mạnh là do năng lượng đàn hồi từ phần cơ bắp bị kéo căng gây nên, bạn có thể tưởng tượng là sợi dây thun càng kéo căn thì lực bắn sẽ càng mạnh vậy.
Mặc dù nó chỉ đúng 1 phần vì so cơ bắp với dây thun thì nó hơi tối giản quá mức. Phản xạ căng thực tế là 1 quá trình chủ yếu về thần kinh.
Kéo dài cơ bắp làm tăng tín hiệu cho hoạt động của tế bào thần kinh vận động, nhưng nó vẫn là cơ bắp của bạn làm thực hiện.
Nếu nó là một quá trình đàn hồi thực sự thì nó sẽ xảy ra mà không cần chủ động cơ cơ ngay sau đó.
Bạn có thể tưởng tượng bằng cách thực hiện bài Dive Bomb ngay sau khi squat và xem bạn nảy lên “nhẹ nhàng” như thế nào.
Kích hoạt phản xạ căng là kĩ thuật tốt để tương thích với đường cong kháng lực của bài tập, đặc biệt là các bài đẩy.
Nó cũng có thể được sử dụng trong các bài kéo, khi mà bạn có thể dùng đà để vượt qua các điểm yếu.
Ví dụ với bài Face Pull, bạn càng yếu về điểm cuối của giai đoạn cencentric làm cho bài tập rất dễ ở điểm bắt đầu và khó nhất khi ở gần mặt. Vì thế, dùng đà sẽ có lợi. Đừng có chỉ kéo tay nắm, mà hãy giật nó sao cho tay nắm gần như chạm vào lông mi ở điểm cuối của chuyển động.
Tuy nhiên, bạn vẫn cần phải cân bằng về cấu trúc để không chấn thương trước khi áp dụng bất kỳ loại quán tính nào. Nếu không bạn chỉ làm trầm trọng thêm sự mất cân bằng khi làm cho các cơ kém phát triển không bị áp lực khi tập luyện.
7. Khả năng tăng tạ vi mô (Microloadability)Xác định độ kháng lực của 1 bài tập càng chính xác thì bài tập đó càng tốt, chưa tính đến các tiêu chí khác.
Bài tập cơ bắp tốt nhất sẽ có mức tạ lớn hơn và mức tăng tạ nhỏ.
Chúng ta luôn muốn tập các bài cho phép tăng mức tạ tối đa nhưng cũng ta cũng cần phải có khả năng thực hiện các bước nhỏ để thực hiện mức tạ lớn hơn.
Mức tải tối đa thường là yếu tố giới hạn trong các bài tập bodyweight (bài tập không dùng tạ) như là Handstand Push Up sẽ tốt hơn Overhead Press về mặt kinetic chain (closed và open) ở trên, nhưng nó lại kém Overhead Press về khả năng tăng tạ.
Một khi bạn đã đạt được ngưỡng tập như quái vật rồi thì có thể thực hiện Handstand Push up với nhiều lần lặp hơn, có lẽ là thêm cả các phụ kiện để tăng sức nặng.
Có rất nhiều bài tập bị giới hạn với việc tăng mức tạ. Với các loại máy thì sẽ có những mức nâng cố định, với tạ đơn thì thì chỉ tăng khoảng 2.5kg hoặc barbell thì từng miếng tạ nhỏ nhất.
Người mới tập hoặc một thời gian đủ lâu thì có thể vẫn tiến bộ với cách tăng tạ như vậy. Nhưng cách tăng lý tưởng nhất là dựa vào phần trăm của mức tạ đang tập chứ không phải luôn là mức tăng cố định.
Áp dụng thực tiễn cho 7 nguyên tắc chọn bài tập ở trên 1. Tập tay sau với bài two-arm kickbacks, rope pushdowns, hay standing overhead extensions sẽ tốt hơn?Tất cả chúng đều tập trung vào cơ tay sau và có yếu tố giới hạn, chúng đều là dynamic contractions và không có sự khác nhau đáng kể về phân bố căng thẳng, mặc dù tập với dây thừng thường dễ hơn cho các khớp.
Khả năng tải vi mô phụ thuộc vào từng thiết bị ở phòng tập, cụ thể là tạ đơn và số tạ nhưng bài Kickback thì yêu cầu dùng mức tạ nhỏ mà mức tăng ở các phòng tập sẽ là 1 vấn đề trừ khi bạn sử dụng PlateMates.
Overhead extensions thì là bài compound tốt nhất bởi vì vị trí trên cao có thể giúp bạn gập duỗi hoàn toàn Long Head của tay sau, 2 bài còn lại thì không.
Tất cả các bài tập đều có thể thực hiện với ROM đầy đủ nhưng Overhead extensions thì có đường cong kháng lực gần bằng với đường cong sức mạnh của chúng ta, 2 bài còn lại thì rất ít sức kháng lực ở vị trí kéo dài.
Overhead extensions cũng có đường cong kháng lực tăng dần theo chiều dọc cho phép bạn sử dụng phản xạ căng.
Như vậy overhead extensions sẽ là bài tốt nhất để tập tay sau.
2. Deadlift có phải là bài đáp ứng đầy đủ các tiêu chí ?Sự thật có thể khiến nhiều người cảm thấy không hài lòng vì Deadlift không phải là 1 bài tập tối ưu với đa số mọi người.
Các vấn đề này có thể xử lý bằng cách không nghỉ giữa các lần lặp, sử dụng tay cầm rộng hoặc tăng ROM (sử dụng các miếng tạ nhỏ hơn thay vì miếng to chẳng hạn), nhưng ngay cả như thế thì nó vẫn không đáp ứng về limit factor. Lực nắm hoặc cơ duỗi cột sống có thể không chịu nổi trước.
Deadlift cũng không phải là bài tập lý tưởng cho các phần cơ đó bởi vì nó dùng cơ co giật chậm và đòi hỏi lượng cơ tham gia lớn và sẽ khiến hệ thần kinh bạn bị quá tải.
Nhưng không phải biến thể khác của Deadlift là không tốt, Romanian deadlifts là 1 bài tập tốt.
Lời kếtĐến đây thì bạn có thể hiểu về việc lựa chọn bài tập sao cho thông mình. Việc lựa chọn bài tập là dựa trên quá trình có hệ thống dựa trên các tiêu chí khách quan. Có thể bạn sẽ muốn tập những bài thuận tiện hoặc thoải mái hoặc bài bạn thích nhưng những cảm xúc đó chỉ là nhất thời.
Chúng ta biết rẳng những thứ mang tính chất “vui” không phải lúc nào cũng hữu ích và có khi là ngược lại.
Kết quả tập luyện có khoa học sẽ là sản phẩm của sự cống hiến từ bạn.
Đăng bởi: Quốc Đạt
Từ khoá: 7 nguyên tắc lựa chọn bài tập khi lên lịch tập gym
100 Bài Tập Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
100 Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
100 Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 1. Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng Hệ trục tọa độ và tọa độ của điểm, tọa độ của vecto
Hệ trục tọa độ Descartes trong mặt phẳng. Hệ trục gồm hai đường thẳng $ x’Ox,y’Oy $ vuông góc với nhau; trên các đường thẳng đó chọn lần lượt các véc-tơ đơn vị $ vec{i},vec{j}. $
Tọa độ của một điểm: [ M(x,y) Leftrightarrow overrightarrow{OM}=xvec{i}+yvec{j}]
Tọa độ của một véc-tơ: [ vec{v}=(x,y) Leftrightarrow vec{v}=xvec{i}+yvec{j}]
Các phép toán và công thức. Cho ba điểm $ A(x_A,y_A) ,B(x_B,y_B)$, và các véc-tơ $vec{v}_1(x_1,y_1),$ $vec{v}_2(x_2,y_2) $ thì ta có:
Hai véc-tơ bằng nhau $ vec{v}_1=vec{v}_2 Leftrightarrow begin{cases} x_1=x_2\y_1=y_2end{cases}$
Tọa độ của $ overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A) $
Trung điểm $ M $ của $ AB $ có tọa độ $ M(frac{x_A+x_B}{2},frac{y_A+y_B}{2}) $
Trọng tâm $ G $ của tam giác $ABC$ có tọa độ $ G(frac{x_A+x_B+x_C}{3},frac{y_A+y_B+y_C}{3}) $
Phép cộng, trừ các véc-tơ $ vec{v}_1pm vec{v}_2= (x_1pm x_2,y_1pm y_2)$
Nhân véc-tơ với một số $ kvec{v}_1=(kx_1,kx_2) $ với mọi số thực $ k. $
end{cases}] Đặc biệt khi $ lambda=-1 $ thì $ M $ là trung điểm của $ AB. $
Hai véc-tơ cùng phương: $ vec{v}_1 $ và $ vec{v}_2 $ cùng phương $ Leftrightarrow vec{v}_1=k vec{v}_2. $ Có thể sử dụng điều kiện $ frac{x_1 }{x_2}=frac{y_1}{y_2} $, với quy ước rằng mẫu bằng không thì tử bằng không.
Tích vô hướng của hai véc-tơ.Cho hai véc-tơ $vec{v}_1(x_1,y_1),vec{v}_2(x_2,y_2) $ thì ta có:
Biểu thức tọa độ: $ vec{v}_1cdot vec{v}_2= x_1 x_2+y_1 y_2 $
Hệ quả:
$ vec{v}_1perp vec{v}_2 Leftrightarrow vec{v}_1cdot vec{v}_2= 0 $
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy, $ cho điểm $ M(x, y). $ Tìm tọa độ các điểm:
$ M_1 $ đối xứng với $ M $ qua $ Ox. $
$ M_2 $ đối xứng với $ M $ qua $ Oy $
$ M_3 $ đối xứng với $ M $ qua gốc tọa độ $ O. $
Bài 2. Cho ba điểm $ A(2,5),B(1,1),C(3,3). $ Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm $ I $ của hình bình hành đó?
Đáp số $ D(4,7),I(5/2,4) $
Bài 3. Cho hình bình hành $ ABDC $ có $ A(-1, 3), B(2, 4), C(0, 1) $. Tìm tọa độ đỉnh $ D. $
Bài 4. Cho tam giác $ ABC $ có các điểm $ M(1, 0), N(2, 2), P(-1, 3) $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC, CA, AB. $ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 5. Cho $ A(3, 4), B(2, 5). $ Tìm $ x $ để điểm $ C(-7, x) $ thuộc đường thẳng $ AB $.
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, thực hiện các yêu cầu sau:
Cho ba điểm $ A(-1, 1), B(1, 3), C(-2, 0). $ Chứng minh ba điểm $ A, B, C $ thẳng hàng.
Cho $ A(-1, 8), B(1, 6), C(3, 4). $ Chứng minh ba điểm $ A, B, C $ thẳng hàng.
Cho $ A(1, 1), B(3, 2), C(m + 4, 2m + 1). $ Tìm $ m $ để ba điểm $ A, B, C $ thẳng hàng
Cho bốn điểm $ A(0, 1), B(1, 3), C(2, 7), D(0, 3). $ Chứng minh đường thẳng $ AB $ và $ CD $ song song.
Cho bốn điểm $ A(-2, -3), B(3, 7), C(0, 3), D(-4, -5). $ Chứng minh rằng hai đường thẳng $ AB $ và $ CD $ song song.
Bài 7. Cho tam giác $ ABC $ với $ A (3, 2), B (- 11, 0), C (5, 4). $ Tìm tọa độ trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC. $
Bài 8. Cho $Delta ABC $ có $ A (1, – 1), B (5, – 3) $ đỉnh $ C $ thuộc $ Oy $ và trọng tâm $ G $ thuộc $ Ox. $ Tìm tọa độ đỉnh $ C. $
Bài 9. Cho $ A (- 2, 1), B (4, 5). $ Tìm tọa độ trung điểm $ I $ của đoạn thẳng $ AB $ và tìm tọa độ của điểm $ C $ sao cho tứ giác $ OACB $ là hình bình hành với $ O $ là gốc tọa độ.
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ cho ba điểm $ A(-1, 3), B(4, 2), C(3, 5). $
Chứng minh rằng ba điểm $ A, B, C $ không thẳng hàng.
Tìm tọa độ điểm $ D $ sao cho $ overrightarrow{AD}=-3overrightarrow{BC}. $
Tìm tọa độ điểm $ E $ sao cho $ O $ là trọng tâm của tam giác $ ABE. $
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ cho $ A(3,4),B(-1,2),I(4,-1). $ Xác định tọa độ các điểm $ C, D $ sao cho tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành với $ I $ là trung điểm cạnh $ CD. $ Tìm tọa độ tâm $ O $ của hình bình hành $ ABCD. $
Đáp số. $C(2,-2),D(6,0)$
Bài 12. Trong hệ trục $ Oxy $ cho điểm $ A(-1, 2) $ và $ B(4, 5). $
Tìm tọa độ của diểm $ A’ $ đối xứng của $ A $ qua $ Ox. $
Tìm tọa độ của $ M $ trên $ Ox $ sao cho $ A’,M ,B $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Điểm $ A(-1, 2) $ thì đối xứng của $ A $ qua $ Ox $ là $ A(-1 , -2). $
Điểm $ M $ trên $ Ox $ nên có tọa độ dạng $ M(x_0, 0). $ Từ $ overrightarrow{A’B} $ và $ overrightarrow{A’M} $ cùng phương tìm được $ x_0=3/7. $
Bài 13. [Đề thi Toán khối D năm 2010] Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy, $ cho tam giác $ ABC $ có đỉnh $ A(3,-7), $ trực tâm là $ H(3,-1), $ tâm đường tròn ngoại tiếp là $ I(-2,0) $. Xác định toạ độ đỉnh $ C $, biết $ C $ có hoành độ dương.
Đáp số. $ C(-2+sqrt{65},3) $
2. Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng[ ax+by-(ax_{0}+by_{0})=0 ]
]
Phương trình chính tắc} của đường thẳng đi qua $ M(x_0,y_0) $ và có véc-tơ chỉ phương $ vec{u}(a,b) $ mà $ abne0 $ là $$frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}$$
Đường thẳng đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ và cóhệ số góc} $k$ có phương trình: $$y-y_{0}=k(x-x_{0})$$
Véctơ chỉ phương và véc-tơ pháp tuyến vuông góc với nhau, do đó nếu véc-tơ pháp tuyến là $vec{n}=(a,b)$ thì có thể chọn véc-tơ chỉ phương $vec{u}=(-b,a)$ hoặc $vec{u}=(b,-a);$ và ngược lại.
Hai đường thẳng song song thì có cùng các véc-tơ chỉ phương, cùng các véc-tơ pháp tuyến, hai đường thẳng vuông góc thì véc-tơ chỉ phương của đường thẳng này là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Tức là, nếu đường thẳng $Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì đường thẳng $Delta’$
vuông góc với $Delta$ là $Delta’:-bx+ay+c’=0$ hoặc $Delta’:bx-ay+c’=0$.
song song với $Delta$ là $Delta’:ax+by+c’=0$ với $ cne c’. $
$$frac{x}{a}+frac{y}{b}=1$$ Phương trình này được gọi là phương trình đoạn chắn.
Lấy một điểm thuộc đường thẳng ta có thể rút tọa độ $ x $ theo $ y $ hoặc ngược lại, nếu cần thì chuyển về phương trình tham số.
Góc – Khoảng cách2.1. Các bài tập cơ bản viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng
Bài 1. Cho $Delta ABC$ với $A(3,2),B(1,1),C(5,6)$.
Viết phương trình tổng quát các cạnh của $Delta ABC$.
Viết phương trình tổng quát của đường cao $AH$, đường trung tuyến$AM$.
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng $d$ biết nó
Đi qua giao điểm của 2 đường thẳng $d_{1}:2x-3y-15=0,d_{2}:x-12y+3=0$ và $d$ đi qua điểm $A(2,0)$.
Đi qua giao điểm của 2 đường thẳng $d_{1}:3x-5y+2=0,d_{2}:5x-2y+4=0$ và song song với đường thẳng $d_{3}:2x-y+4=0$.
Đi qua giao điểm của 2 đường thẳng $d_{1}:2x-3y+5=0,d_{2}:x-2y-3=0$ và vuông góc với đường thẳng $d_{3}:x-7y-1=0.$
Bài 3. Tìm $m$ để hai đường thẳng: $x+(2m-3)y-3=0$ và $begin{cases} x & =1-t\ y & =2-t end{cases}$ vuông góc với nhau.
Bài 4. Lập phương trình tổng quát của 3 đường trung trực và 3 cạnh của $Delta ABC$ biết các trung điểm của $BC,CA$ và $AB$ là $M(4,2),N(0,-1),P(1,4).$
Bài 5. Cho đường thẳng $d:3x+4y-12=0$.
Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của gốc $O$ trên $d$.
Tìm điểm đối xứng $O’$ của gốc $O$ qua $d$.
Viết phương trình đường thẳng $d’$ đối xứng của $d$ qua $O$.
Bài 6. Cho tam giác $ ABC $ có trung điểm $ M $ của $ AB $ có tọa độ $ (- 1/2, 0) $, đường cao$ CH $ với $ H(- 1, 1) $, đường cao $ BK $ với $ K(1 , 3) $ và biết $ B $ có hoành độ dương.
Viết phương trình $ AB $.
Tìm tọa độ $ B, A $ và $ C $.
Hướng dẫn. Đường thẳng $AB$ đi qua $H$ và $M$ nên có phương trình $ 2x+y+1=0. $
Điểm $ Bin AB $ nên có tọa độ dạng $ B(b,-1-2b). $ Có $A$ đối xứng với $B$ qua $MLeftrightarrow A(-1-b,1+2b).$ Mà $ overrightarrow{AK}.overrightarrow{BK}=0 Leftrightarrow b=1.$ Từ đó tìm được $ A(-2,3),B(1,-3) $ và $ C(3,3) $.
2.2. Sử dụng điểm thuộc đường thẳng (tham số hóa)Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho các điểm $ A(1,0),B(-2,4),C(-1,4),D(3,5) $ và đường thẳng $ d:3x-y-5=0 $. Tìm điểm $ M $ trên $ d $ sao cho hai tam giác $ MAB, MCD $ có diện tích bằng nhau.
Hướng dẫn. Phương trình đường thẳng $AB:4x+3y-4=0,$ đường thẳng $ CD:x-4y-17=0. $
Vì $ Min d $ nên có tọa độ dạng $ M(t,3t-5). $ Do đó $ d(M,AB)=…, d(M,CD)=… $
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $ d:x-3y-6=0 $ và điểm $ N(3,4) $. Tìm tọa độ điểm $ M $ thuộc đường thẳng $ d $ sao cho tam giác $ OMN $ có diện tích bằng $ frac{15}{2}. $
Hướng dẫn. Đáp số $ M(3,-1) $ và $ M(-7,-frac{13}{3}) $.
Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có diện tích bằng 2. Biết tọa độ $ A(1,0), B(0,2) $ và trung điểm $ I $ của $ AC $ nằm trên đường thẳng $ y = x $. Tìm toạ độ đỉnh $ C $.
Hướng dẫn. Vì $ I $ thuộc đường thẳng $ y=x $ nên có tọa độ dạng $ I(t,t) $. Từ $ I $ là trung điểm $ AC $ suy ra $ C(2t-1,2t) $.
Mặt khác, từ $ S_{Delta ABC}=frac{1}{2}AB.d(C,AB)=2 $ suy ra $ d(C,AB)= $
Bài 4. Cho tam giác $ ABC $ có trung điểm của $ AB $ là $ I(1 , 3) , $ trung điểm $ AC $ là $ J(- 3, 1) $. Điểm $ A $ thuộc trục $ Oy $ và đường $ BC $ qua gốc tọa độ $ O $. Tìm tọa độ điểm $ A $, phương trình $ BC $ và đường cao vẽ từ $ B $.
Hướng dẫn. Vì $A$ thuộc trục $ Oy $ nên có tọa độ $ A(0,a), $ suy ra $ B(2,6-a) $ và $ C(-6,2-a). $ Ta có đường thẳng $BC$ đi qua $OLeftrightarrow overrightarrow{OB},overrightarrow{OC} $ cùng phương $ Leftrightarrow a=5. $
Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $, cho hai đường thẳng $ d_1:x+y-3=0,d_2:x+y-9=0 $ và điểm $ A(1, 4) $. Tìm điểm $ Bin d_1,Cin d_2 $ sao cho tam giác $ ABC $ vuông cân tại $A$.
Hướng dẫn. Gọi $ B(b,3-b) $ và $ C(c,9-c). $ Lập hệ, từ phương trình $ overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0 $ rút ra $ b-1=frac{(b+1)(5-c)}{c-1} $ thay vào phương trình còn lại được $ (b+1)^2=(c-1)^2 $. Đáp số $ B(2,1),C(4,5) $ hoặc $ B(-2,5),C(2,7). $
Bài 6. Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình thoi $ABCD$ cạnh $AC$ có phương trình là: $x+7y-31=0,$ hai đỉnh $ B,D $ lần lượt thuộc các đường thẳng $ d_1:x+y-8=0,d_2:x-2y+3=0 $. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh $ A $ có hoành độ âm.
Hướng dẫn. Đáp số $A(-11,6),B(0,8),C(10,3),D(-1,1).$
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ cho điểm $ A(1,1) $ và đường thẳng $ Delta:2x+3y+4=0. $Tìm tọa độ điểm $ B $ thuộc $ Delta $ sao cho đường thẳng $ AB $ và $ Delta $ hợp với nhau góc $ 45^circ $.
Đáp số. $ B(-frac{32}{13},frac{4}{13}),B(frac{22}{13},-frac{32}{13}) $
Bài 8 .Cho đường thẳng $ Delta:x-2y-2=0$ và hai điểm điểm $A(-1,2),B(3,4).$ Tìm điểm $ Min Delta $ sao cho $ 2MA^2+MB^2 $ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Sử dụng hàm số. Đáp số $ M(frac{26}{15},-frac{2}{15}) $
Bài 9. Cho điểm $ C(2,-5) $ và đường thẳng $ Delta:3x-4y+4=0. $ Tìm trên $ Delta $ hai điểm $ A,B $ đối xứng nhau qua $ I(2,frac{5}{2}) $ sao cho diện tích tam giác $ ABC $ bằng 15.
Hướng dẫn. $(0,1),(4,4).$
Bài 10. Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $, cho đường thẳng $ d:2x-y+3=0 $ và hai điểm $ A(1,0),B(2,1). $ Tìm điểm $ M $ trên $ d $ sao cho $ MA + MB $ nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Nhận xét $ A,B $ nằm cùng phía so với đường thẳng $ d$. Tìm được $ A'(-3,2) $ đối xứng với $ A $ qua $d$ và phương trình $ A’B:x+5y-7=0. $
Ta có $ MA+MB= MA’+MBge A’B $ nên $ MA+MB $ nhỏ nhất $ Leftrightarrow M,A’,B $ thẳng hàng hay $ M $ là giao điểm của $ A’B $ với $ d. $ Đáp số $ M(-frac{8}{11},frac{17}{11}). $
2.3. Sử dụng véc-tơ pháp tuyếnBài 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $ d:x-sqrt{3} y-2=0,$ điểm $ A(1,sqrt{3}) $ và điểm $ B $ không thuộc đường thẳng $ d. $ Lập phương trình đường thẳng $AB$ biết khoảng cách từ điểm $B$ đến giao điểm của đường thẳng $ d$ và $ AB $ bằng hai lần khoảng cách từ $ B $ đến $ d. $
Hướng dẫn. Gọi $ C $ là giao điểm của $ d $ và $ AB, H $ là hình chiếu của $ B $ lên $ d$ thì $sin(d,AB)=frac{BH}{BC}=frac{1}{2}. $
Bài 2. [HVKTQS 2001] Tam giác $ ABC $ cân đỉnh $ A $, cạnh đáy $ BC $ có phương trình $x-3y-1=0$, cạnh bên $ AB $ có phương trình $x-y-5=0$, đường thẳng $ AC $ đi qua điểm $M(-4;1)$. Tìm toạ độ đỉnh $ C? $
Suy ra phương trình $ AC: x+7y-3=0$ (Chú ý loại trường hợp song song với $ AB $). Từ đó tìm được toạ độ điểm $Cleft( frac{8}{5};frac{1}{5} right)$
2.4. Sử dụng phương trình đoạn chắnBài 1. Viết phương trình đường thẳng qua $ M(3 , 2) $ và cắt tia $ Ox $ tại $ A $, tia $ Oy $ tại $ B $ sao cho
$ OA + OB = 12 $;
tạo với hai trục một tam giác có diện tích là 12.
Hướng dẫn. 1. $ x +3y-9 =0, 2x+y-8=0. $ 2. $ 2x+3y-12=0. $
Bài 2. Cho điểm $ M(3 , 3) $. Viết phương trình đường thẳng $ Delta $ cắt $ Ox $ và $ Oy $ tại $ A $ và $ B $ sao cho tam giác $ MAB $ vuông tại $ M $ và $ AB $ qua điểm $ I(2 , 1) $.
Từ đó tìm được $a=4, b=2 $ hoặc $ a=3,b=3. $
Bài 3. Trên mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(2,-2)$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $M(3,1)$ và cắt trục $Ox,Oy$ tại $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ cân.
Hướng dẫn. $frac{x}{2}+frac{y}{-2}=1$
Bài 4. Cho điểm $ M(9 , 4) $. Viết phương trình đường thẳng $ Delta $ qua $ M $, cắt hai tia $ Ox $ và tia $ Oy $ tại $ A $ và $ B $ sao cho tam giác $ OAB $ có diện tích nhỏ nhất.
Vậy tam giác $ OAB $ có diện tích nhỏ nhất là 72 khi $ frac{9}{a}=frac{4}{b}=frac{1}{2} Leftrightarrow a=18,b=8. $ Khi đó phương trình đường thẳng $Delta$ là $ 4x+9y-72=0. $
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $ M(1,2) $. Viết phương trình đường thẳng $ d $ đi qua $M$ và cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $ A, B $ khác $ O $ sao cho $ frac{9}{OA^2}+frac{4}{OB^2} $ nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Sử dụng Bunhia. Đáp số $ 2x+9y-20=0. $
Bài 1. Cho tam giác $ ABC $ có $ A(2;2) $. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh $ B $ và $ C $ lần lượt có phương trình là: $9x-3y-4=0;x+y-2=0$. Viết phương trình đường các cạnh và tính diện tích của tam giác.
Bài 2. Lập phương trình các cạnh của $Delta ABC$ nếu cho $B(-4,5)$ và hai đường cao của tam giác có phương trình: $5x+3y-4=0$và $3x+8y+13=0.$
Bài 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác $ ABC $ có đỉnh $ C(4,-1) $, đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh $ A $ có phương trình lần lượt là ${{d}_{1}}:2x-3y+12=0$ và ${{d}_{2}}:2x+3y=0$.
Bài 4. Trong mặt phẳng $ Oxy $ cho $ Delta ABC $ có $ A(2,1). $ Đường cao qua đỉnh $ B $ có phương trình $ x-3y-7=0. $ Đường trung tuyến qua đỉnh $ C $ có phương trình $ x+y+1=0. $ Xác định tọa độ $ B $ và $ C. $ Tính diện tích tam giác $ ABC $.
Hướng dẫn. $ C(4,-5), B(1,-2), S=6. $
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có đường cao $ BH:x+2y-3=0, $ trung tuyến $ AM:3x+3y-8=0. $ Cạnh $ BC $ đi qua $ N(3,-2) $ và $ C $ thuộc đường thẳng $ d:x-y+2=0. $ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn. Gọi tọa độ $ B(3-2b,b) $ và $ C(c,c+2) $ và biểu diễn tọa độ $ M $ theo $ b,c. $ Mà $ Min AM $ nên $ 3b-6c+1=0. $ Từ $ B,N,C $ thẳng hàng tìm được $ 3bc+5b+2c-6=0. $ Từ đó tìm được tọa độ $ B,C. $
Bài 6. [ĐHBK 1994] Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng toạ độ là: ${{d}_{1}}:5x-2y+6=0$ và ${{d}_{2}}:4x+7y-21=0$. Viết phương trình cạnh thứ ba biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc toạ độ.
Bài 7. Cho tam giác $ABC$ có $ A(1,5). $ Điểm $ B $ nằm trên đường thẳng $ d_1:2x+y+1=0 $ và chân đường cao hạ từ đỉnh $ B $ xuống $ AC $ nằm trên đường thẳng $ d_2:2x+y-8=0. $ Biết $ M(3,0) $ là trung điểm của $ BC. $ Tìm tọa độ các đỉnh $ B,C$.
Hướng dẫn. Gọi $ B(m,-2m-1) $ và $ H(n,8-2n) $ suy ra $ C(6-m,2m+1). $ Từ $ A,H,C $ thẳng hàng tìm được $ m=11-6n. $ Mặt khác $ AHperp BH $ nên tìm được $ n=2 $ hoặc $ n=frac{52}{35}. $
Bài 8. Cho $Delta ABC$ có trọng tâm $G(-2,-1)$ và các cạnh $AB:4x+y+15=0$, $AC:2x+5y+3=0$
Tìm đỉnh $A$ và trung điểm $M$ của cạnh $BC$.
Tìm đỉnh $B$ và viết phương trình đường thẳng $BC$.
Bài 9. Cho tam giác $ ABC $ có đỉnh $ A(-1;-3) $, đường trung trực của đoạn $ AB $ là: $ 3x+2y-4=0 $. Trọng tâm $ G(4;-2) $. Tìm tọa độ $ B, C $.
Hướng dẫn. $ B(5;1),C(8;-4). $
Bài 10. Cho tam giác $ ABC $ có đỉnh $ A $ thuộc $ d: x-4y-2=0. $ Cạnh $ BC $ song song với đường thẳng $d$, đường cao $ BH:x+y+3=0 $ và $ M(1;1) $ là trung điểm của $ AC $. Tìm tọa độ của các đỉnh $ A, B, C $.
Hướng dẫn. $ Aleft( { – frac{2}{3}; – frac{2}{3}} right),B(-4;2),C(frac{8}{3},frac{8}{3}) $.
Bài 11. Trong mặt phẳng $ Oxy, $ cho các điểm $ A(1,0),B(-2,4),C(-1,4),D(3,5) $ và đường thẳng $ d:3x-y-5=0. $ Tìm điểm $ M $ trên $ d $ sao cho hai tam giác $ MAB, MCD $ có diện tích bằng nhau.
Hướng dẫn. $ M(8,9) $ hoặc $ M(frac{11}{12},-frac{27}{12}) $
Bài 12. Cho hình tam giác $ ABC $ có diện tích bằng 2. Biết $ A(1,0),B(0,2) $ và trung điểm $ I $ của $ AC $nằm trên đường thẳng $ d:y=x. $ Tìm toạ độ đỉnh $ C. $
Hướng dẫn. $ C(frac{1+pm sqrt{3}}{2},frac{1+pm sqrt{3}}{2}) $
Bài 13. Cho tam giác $ ABC $ với $ A(1,1),B(-2,5) $ và đỉnh $ C $ nằm trên đường thẳng $ x-4=0,$ trọng tâm $ G $ của tam giác nằm trên đường thẳng $ 2x-3y+6=0. $ Tính diện tích tam giác $ ABC $.
Hướng dẫn. $S=frac{15}{2} $
Bài 14. Cho tam giác $ ABC $ có $ A(2,-1),B(1,-2), $ trọng tâm $ G $ nằm trên đường thẳng $ d:x+y-2=0.$ Tìm tọa độ tỉnh $ C $ biết diện tích tam giác bằng $ frac{27}{2}. $
Hướng dẫn. $ C(-6,12),C(frac{38}{3},-frac{20}{3}) $
Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $ C(-1,-1) $; phương trình cạnh $ AB:x+2y-5=0 $ và $ AB=sqrt{5}. $ Trọng tâm $ G $ của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d:x+y-2=0$ . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác?
Hướng dẫn. Gọi $ A(5-2a,a) $ và $ B(5-2b,b) $ thuộc $ AB $ thì từ $ AB^2=5 $ suy ra $ a-b=pm1. $ Suy ra tọa độ trọng tâm $ G $. Mà $ Gin d $ nên tìm được Hướng dẫn.
Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G (1; 1) $, đường cao từ đỉnh $ A $ có phương trình $ d:2x – y + 1 = 0 $. Các đỉnh $ B $ và $ C $ thuộc đường thẳng $ d’: x + 2y – 1 = 0 $. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết tam giác $ ABC $ có diện tích bằng 6.
Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $ và $ A(a,2a+1) $ thì từ $ overrightarrow{AG}=2overrightarrow{GM} $ có $ M(frac{3-a}{2},1-a) $. Mà $ Min d’ $ nên tìm được $ A(1;2) $ và $ M(1;0). $ Gọi $ H $ là giao điểm của $ d $ và $ d’ $ thì $ H(-frac{1}{5},frac{3}{5}) $ do đó $ AH=frac{6}{sqrt{5}} $. Từ diện tích bằng $ 6 $ tìm được $ MB=MC=sqrt{5}. $
Đáp số $ B(-1,1),C(3,-1) $ và $ B(3,-1),C(-1,1) $.
Bài 17. Cho tam giác $ ABC $ biết $ A(5,2). $ Phương trình đường trung trực cạnh $ BC, $ đường trung tuyến $ CC’ $ lần lượt là $ x+y-6=0,2x-y+3=0. $ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ ABC. $
Hướng dẫn. $ B(37,88),C(-20,-31). $
Bài 18. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $ Oxy, $ hãy viết phương trình các cạnh của tam giác $ ABC $ biết trực tâm $ H(1,0), $ chân đường cao hạ từ đỉnh $ B $ là $ K (0,2), $ trung điểm cạnh $ AB $ là $ M (3,1). $
Hướng dẫn. $ AB:3x-y-8=0,BC:3x+4y+2=0 $
Bài 19. Cho tam giác $ ABC $ có phương trình cạnh $ AB:x-y-2=0, $ phương trình cạnh $ AC:x+2y-5=0. $ Biết trọng tâm của tam giác là $ G(3,2). $Viết phương trình cạnh $ BC. $
Hướng dẫn. $ B(5,3),C(1,2)… $
Bài 20. Cho tam giác $ ABC $ biết $ A(1,-1),B(2,1), $ diện tích bằng $ frac{11}{2} $ và trọng tâm $ G $ thuộc đường thẳng $ d:3x+y-4=0. $ Tìm tọa độ đỉnh $ C. $
Hướng dẫn. $C(1,0)vee C(frac{17}{5},-frac{26}{5})$
Bài 21. Tam giác $ ABC $ có $ AB=sqrt{5}, C(-1,-1), AB:x+2y-3=0, $ trọng tâm $ G $ thuộc đường thẳng $ x+y-2=0. $ Xác định tọa độ $ A,B? $
Hướng dẫn. $ (6,frac{-3}{2}) $ và $ (4,frac{-1}{2}) $
Bài 22. Cho tam giác $ ABC $ có $ A(2,-3),B(3,-2), $ diện tích bằng $ frac{3}{2} $ và trọng tâm thuộc đường thẳng $ Delta:3x-y-8=0. $ Tìm tọa độ đỉnh $ C. $
Hướng dẫn. Giả sử $ G(t,3t-8). $ Từ tọa độ trung điểm $ M $ của $ AB $ suy ra $ C(2t-5,9t-19)… $ Đáp số $C(frac{-7pm6sqrt{5}}{3},-7pm9sqrt{5}) $
Bài 23. Viết phương trình các cạnh của tam giác $ ABC $ biết $ B(2,-1) $ đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh $ A, C $ lần lượt là $ d_1:3x-4y+27=0,d_2:x+2y-5=0. $
Hướng dẫn. $ BC:4x+3y-7=0, AC:y-3=0 $ hoặc $ AC:4x+3y-5=0,AB:… $
Bài 24. Cho tam giác $ ABC $ có $ A(1,-2), $ đường cao $ CH:x-y+1=0, $ phân giác trong $ BN:2x+y+5=0. $ Tìm tọa độ các đỉnh $ B,C $ và tính diện tích tam giác?
Hướng dẫn. $B(-4,3)),C(-frac{13}{4},-frac{9}{4}), S=frac{9sqrt{10}}{4}. $
Bài 25. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $ A $ có $ B $ và $ C $ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $ O. $ Đường phân giác trong góc $ widehat{B} $ có phương trình $ d:x+2y-5=0. $ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết $ AC $ đi qua $ K(6,2). $
Hướng dẫn. Gọi $ B(5-2b,b) $ thì $ C(2b-5,-b) .$ Gọi $ I $ đối xứng với $ O $ qua đường phân giác thì $ I(2,4) $ và $ Iin AB. $ Từ $ ABperp AC $ tìm được $ b=1 $ hoặc $ b=5. $
Bài 26. Cho tam giác $ABC$ có đường cao hạ từ $ A $ là $ x-2y=0, $ đường phân giác trong góc $ widehat{A} $ là $ x-y+1=0. $ Biết $ M(1,0) $ nằm trên $ AB $ và diện tích tam giác $ABC$ là $ frac{180}{7} $. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn. Tìm được ngay $ A(-2,-1) $ và $ AB:x-3y-1=0 $. Gọi $ N $ là điểm đối xứng với $ M $ qua đường phân giác thì $ N(-1,2) $ và $ Nin AC. $ Từ đó tìm được $ AC:3x-y+5=0. $ Gọi $ B(3m+1,m) $ và $ C(n,3n+5) $ thì từ $ AHperp BC $ suy ra $ 5n-7m+3=0. $ Kết hợp với diện tích tam giác $ABC$ bằng $ frac{180}{7} $ suy ra $ m=frac{8}{7} $ hoặc $ m=-frac{22}{7} $.
Bài 27. Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A, $ biết phương trình đường thẳng $ AB, BC $ lần lượt là: $ x+2y-5=0,3x-y+7=0. $ Viết phương trình đường thẳng $ AC, $ biết rằng $ AC $ đi qua điểm $ F(1,-3). $
Hướng dẫn. $x+8y+23=0,4x+7y+25=0.$
Bài 28. Cho tam giác $ABC$ cân tại $ A $ và phương trình các cạnh $ AB,BC $ lần lượt là $ 7x-y+17=0,x-3y-9=0. $ Viết phương trình đường cao hạ từ $ C $ biết $ M(2,-1) $ thuộc đường thẳng $ AC. $
Hướng dẫn. Gọi véctơ pháp tuyến của $ AB $ là $ vec{n}(a,b) $. Đáp số $ x+7y+11=0. $
Bài 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Biết phương trình các đường thẳng $AB$, $BC$ theo thứ tự là [(d_1): 2x + y -1 = 0, (d_2): x + 4y + 3 = 0.] Lập phương trình đường cao qua đỉnh $B $ của tam giác $ABC$.
Hướng dẫn. $31x +22y – 9 = 0$.
Bài 30. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, biết $AB:x + 3y + 5 = 0 $, $BC: x – y + 1 = 0$, đường thẳng $AC$ đi qua điểm $M(3;0)$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$, $B$, $C$.
Hướng dẫn. $A(4;-3)$, $B(-2;-1)$, $C(2;3)$.
Bài 31. Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $, phương trình cạnh $ BC $ là $ d:2x – y + 3 = 0 $. Điểm $ I (-2; -1) $ là trung điểm cạnh $ BC $, điểm $ E (4; 1) $ nằm trên cạnh $ AB $. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết diện tích tam giác $ ABC $ bằng 90.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ AI $ vừa là đường cao vừa là phân giác, có phương trình $ AI: x+2y+4=0.$ Qua $ E $ kẻ đường thẳng vuông góc với $ AI $ và cắt $ AI $ tại $ F, $ cắt $ AC $ tại $ M. $ Viết được phương trình $ EM, $ từ đó tìm được $ M(0,7) $. Gọi $ B(b,2b+3) $ thì $ C(-4-b,5-2b) $. Tam giác $ABC$ cân tại $ A $ nên $ cos(BE,BC)=cos(MC,BC) $. Tìm được $ b=1 $ và $ b=4. $ Với mỗi trường hợp của $ b $ tìm được tọa độ $ C,A $ tương ứng.
Bài 32. Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $, có trực tâm $ H (-3; 2) $. Gọi $ D, E $ là chân đường cao hạ từ $ B $ và $ C $. Điểm $ A $ thuộc đường thẳng $ d:x – 3y – 3 = 0 $, điểm $ F (-2; 3) $ thuộc đường thẳng $ DE $ và $ HD = 2 $. Tìm tọa độ đỉnh $ A $.
Hướng dẫn. Có $ HD=2 $ nên $ (x_D+3)^2+(y_D-2)^2=4. $ Lấy $ A(3a+3,a) $ thì từ $ ADperp DH $ nên có $ (x_D-3a-3)(x_D+3)+(y_D-a)(y_D-2)=0. $ Từ hai phương trình này tìm được $ (6+3a)x_D+(a-2)y_D+7a+18=0 $. Tương tự, có $ (6+3a)x_E+(a-2)y_E+7a+18=0 $ nên phương trình $ DE $ có dạng $ (6+3a)x+(a-2)y+7a+18=0 $. Mà $ Fin DE $ nên tìm được $ a=0. $ Đáp số $ A(3,0) $.
Bài 33. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $ Oxy, $ cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ có $ AB:3x+2y-7=0 $ và $ BC:2x-y=0. $ Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao $ BH $ của $ Delta ABC. $
Bài 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy, $ cho tam giác $ ABC $ có trực tâm $H(3,0).$ Biết $M(1,1)$ và $N(4,4)$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AB, AC.$ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC.$
Đáp số. $ A(-1,4),B(3,-2),C(9,4) $ hoặc $ A(frac{5}{2},frac{1}{2}), B(frac{-1}{2},frac{3}{2}), C(frac{11}{2},frac{15}{2}). $
Bài 35. Tam giác $ ABC $ có $ B(2,-1), $ đường cao và đường phân giác kẻ từ $ A,C $ lần lượt là $ 3x-4y+27=0, x+2y-5=0. $ Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Hướng dẫn. $ A(-5,3) $ và $ AB:4x+7y-1=0. $
Bài 36. [Đề thi thử SGD Bắc Ninh 2014] Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A(6,6), $ đường thẳng $ Delta:x+y-4=0 $ đi qua trung điểm hai cạnh $ AB,AC. $ Điểm $ E(1,-3) $ nằm trên đường cao đi qua đỉnh $ C. $ Tìm tọa độ $ B,C? $ Bắc Ninh K.B NC 2014
Hướng dẫn. Gọi được $ H(-2,-2) $ đối xứng với $ A $ qua $ Delta $ thì $ H $ là trung điểm $ BC. $ Suy ra $ BC:x+y+4=0. $ Giả sử $ B(t,-4-t) $ thì $ C(-4-t,t). $ Từ $ overrightarrow{AB}.overrightarrow{CE} $ tìm được $ B(0,-4), C(-4,0) $ hoặc $ B(-6,2),C(2,-6). $
Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $, tìm được $ M(1,2). $ Kẻ đường kính $ AD $ thì tứ giác $ BHCD $ là hình bình hành, suy ra $ D(25,-13). $ Gọi $ I $ là tâm đường tròn, suy ra $ I(13,-4). BC:2x-y=0.$ Đặt $ B(b,2b), C(c,2c). $ Có $ IA=IB=IC $ tìm được $ B(4,8), C(-2,-4). $ Đáp số $B(4,8), C(-2,-4).$
Bài 38. Tam giác $ABC$ có $ A(-1,-3) $, trực tâm $ H(1,-1) $ và tâm đường tròn ngoại tiếp là $ I(2,-1). $ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn. Gọi $ D $ là điểm đối xứng với $ A $ qua $ I $ thì $ AD $ là đường kính của đường tròn $ (I). $ Chỉ ra $ BHCD $ là hình bình hành và tìm được $ BC:x+y-2=0. $
Bài 39. [Đề thi thử trường chuyên Vĩnh Phúc] Cho tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ A, $ điểm $ A $ có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng $ Delta:x-4y+6=0, BC: 2x-y-7=0, M(-1,1)in AC.$ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn. Giả sử điểm $A(4a-6,a)in Delta.$ Có $ cos (overrightarrow{MA},vec{u}_{BC})=cos 45^circ, $ tìm được $ A(2,2). $ Viết phương trình $ AC, $ tìm được tọa độ điểm $ C(5,3). $ Từ $ overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0 $ và $ Bin BC $ tìm được $ B(3,-1). $
Bài 40. [Đề thi thử Đặng Thúc Hứa năm 2014] Cho tam giác $ ABC $ vuông tại điểm $A$. Lấy điểm $M$ thuộc đoạn $ AC $ sao cho $ AB=3AM. $ Đường tròn tâm $ I $ đường kính $ CM $ cắt $ BM $ tại $ D. $ Phương trình $ CD:x-3y-6=0. $ Xác định tọa độ các đỉnh tam giác $ ABC $ biết $ N(frac{4}{3},0)in BC $ và điểm $ C $ có hoành độ dương.
Hướng dẫn. Có $cos widehat{ACD}= cos widehat{ABM}=frac{3}{sqrt{10}}. $ Giả sử $ C(3t+6,t) $ thì $ cos widehat{ACD}=cos (overrightarrow{IC},vec{u}_{CD}) $ tìm được $C(3,-1). $ Viết phương trình đường thẳng $ BC,BM $ suy ra tọa độ $B(-2,2)$. Viết phương trình $ AB, CN $ suy ra tọa độ $ A(-2,-1). $
Hướng dẫn. Giả sử giao điểm của $ d$ và $ Delta $ là $ I. $ Gọi $ E $ đối xứng với $ B $ qua $ d $ thì $ E $ thuộc đoạn $ AC $ và $ IB=IE=IC $ nên $ Delta $ là trung trực của $ CE. $ Gọi $ H=Deltacap AC, $ tìm được $ H(frac{17}{3},-frac{1}{3}). $ Suy ra $ E(frac{16}{3},-frac{2}{3}). $ Đáp số $ B(frac{4}{3},frac{2}{3}). $
Bài 42. [Đề thi thử trường Chuyên Lào Cai năm 2023] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy, $ cho tam giác $ ABC $ có trực tâm $ H(5,5), $ phương trình đường thẳng $ BC:x+y-8=0. $ Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ đi qua hai điểm $ M(7,3),N(4,2). $ Tính diện tích tam giác $ ABC. $
Hướng dẫn. Tìm được $ H'(3,3) $ là điểm đối xứng với $ H $ qua $ BC $ thì $ H’ $ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC. $ Như vậy, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ đi qua ba điểm $ M,N,H’. $ Do đó phương trình đường tròn ngoại tiếp là $ x^2+y^2-10x-8y+36=0. $ Từ đó tìm được $ A(6,6) $ và $ B,C $ có tọa độ $ (3,5),(6,2). $ Diện tích $S=6.$
Hướng dẫn. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $ 2overrightarrow{HI}=3overrightarrow{HG} $. Từ đó tìm được $ G(frac{4}{3},2) $ và $ A(-1,1) $. Đáp số $ B(3,1) $ và $ C(2,4). $
Bài 44. Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ biết rằng $B(2; -7)$ và nếu $ 3x + y + 11 = 0$ và $x + 2y + 7 = 0$ lần lượt là phương trình đường cao và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau.
(Find the equations of the sides of a triangle having $B(2; -7)$ as a vertex, if $3x + y + 11 = 0$ and $x + 2y + 7 = 0$ are the respective equations of an altitude and a median drawn from diferrent vertices.)
Hướng dẫn. $x – 3y – 23 = 0$, $ 7x + 9y + 19 = 0$, $ 4x + 3y + 13 = 0$.
Bài 45. Cho tam giác $ABC$, biết phương trình cạnh $AB$, phương trình đường phân giác trong $BE$, phương trình đường phân giác trong $CE$ lần lượt có phương trình $$3x – 4y – 2 = 0, x – y – 1 = 0, 11x + 3y + 10 = 0.$$ Viết phương trình hai cạnh $BC$ và $AC$.
Hướng dẫn. $BC: 4x – 3y – 5 = 0$, $AC: 5x + 12y + 27 = 0$.
Bài 46. Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ biết rằng $A(-3; 3)$ và phương trình các đường phân giác trong $B$ và $C$ của tam giác lần lượt là $ x – 2y + 1 = 0$, $x + y + 3 = 0$.
Hướng dẫn. $AB: 2x + y – 3 = 0$, $AC: x – y – 3 = 0$, $BC: 4x – y + 3 = 0$.
Bài 47. Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC $ biết rằng $B(2; -1)$ và nếu $3x – 4y + 27 = 0 $ và $x + 2y – 5 = 0$ lần lượt là phương trình đường cao và đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau.
(Find the equations of the sides of a triangle having $B(2; -1)$ as a vertex, if $3x – 4y + 27 = 0 $ and $x + 2y – 5 = 0$ are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from diferrent vertices.)
Hướng dẫn. $4x + 7y – 1 = 0$, $y – 3 = 0$, $4x + 3y – 5 = 0$.
Bài 48. Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ biết rằng $A(3; – 1) $ và nếu $x – 4y +10 = 0$ và $6x + 10y – 59 = 0$ lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau.
(Find the equations of the sides of a triangle having $A(3; – 1) $ as a vertex, if $x – 4y +10 = 0$ and $6x + 10y – 59 = 0$ are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from diferrent vertices.)
Hướng dẫn. $2x + 9y – 65 = 0$, $6x – 7y – 25 = 0$, $18x + 13y – 41 = 0.$
Bài 49. Viết phương trình đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $C(-5;4)$, biết rằng $Delta$ cắt hai đường thẳng $d_1:x + 2y + 1 = 0$ và $d_2:x+2y – 1=0$ lần lượt tại tại $A$ và $B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng 5.
Hướng dẫn. $3x + 4y -1=0$ và $7x + 24y – 61 = 0.$
Bài 50. Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(0;4)$, trọng tâm $Gleft(frac{4}{3}; frac{2}{3}right)$ và trực tâm trùng với gốc toạ độ. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ và diện tích của tam giác $ABC$, biết rằng hoành độ điểm $B$ nhỏ hơn hoành độ điểm $C$.
Hướng dẫn. $B(-1;-1)$, $C(5;-1)$, $S_{ABC} = 15$.
Bài 51. Cho tam giác $ABC$ có $AB = sqrt{2}$ và $G(1;1)$ là trọng tâm; đỉnh $C$ ở trên trục hoành và hai đỉnh $A$, $B$ ở trên đường thẳng $Delta: x – y + 1 = 0$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$, $B$, $C$.
Hướng dẫn. $A(0;1)$, $B(1;2)$, $C(2;0)$ hoặc $A(1;2)$, $B(0;1)$, $C(2;0)$.
x – 2y – 13 = 0 text{ và } 13x -6y – 9 = 0.$$ Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ biết toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ là $I(-5; 1)$.
Hướng dẫn. $(4;3)$ và $(2;7)$.
Bài 53. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có đỉnh $C(-3;1)$, đường trung trực của cạnh $BC$ có phương trình $7x + y – 5 = 0$. Tìm toạ độ nguyên của đỉnh $A$ biết diện tích của tam giác $ABC$ bằng 10.
Đáp số. $A(-2; 4)$.
Bài 54. Cho tam giác $ABC$ có $A(0;6)$, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $K(4;3)$, đường cao kẻ từ $A$ đi qua điểm $I(2;2)$ và độ dài cạnh $BC = 4sqrt{5}$. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$, biết rằng góc $A$ là góc tù.
Hướng dẫn. $B(-1;3)$ và $C(7;7)$ hay ngược lại.
Bài 55. Cho tam giác $ABC$ có phương trình đường trung tuyến và phân giác trong cùng kẻ từ đỉnh $B$ lần lượt là $$(d_1): 2x + y – 3 = 0, (d_2): x + y – 2 = 0.$$ Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$, đường thẳng r ngoại tiếp tam giác $ABC$ có bán kính bằng $sqrt{5}$. Biết đỉnh $A$ có hoành độ dương, xác định toạ độ các đỉnh của tam giác $ABC$.
Hướng dẫn. $A(3; 1)$, $B(1;1)$, $C(1;- 3)$.
Bài 56. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(1;-1)$, điểm $E(-1;2)$ là trung điểm của cạnh $AC$ và phương trình cạnh $BC$ là $2x -y + 1 = 0$. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác $ABC$.
Hướng dẫn. $A(-3;1)$, $B(0;1)$, $C(1;3)$.
Bài 57. Cho điểm $M(2;3)$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$ lần lượt cắt các trục $Ox$, $Oy$ tại $A$, $B$ sao cho tam giác $MAB$ vuông cân tại $A$.
Hướng dẫn. $x – 3y – 3 = 0$, $5x + 3y + 15=0.$
Bài 58. Cho điểm $M(2;1)$ và đường thẳng $(d): x – y = 0$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$ lần lượt cắt trục $Ox$ và $(d)$ tại $A$, $B$ sao cho tam giác $MAB$ vuông cân tại $M$.
Hướng dẫn. $x + y – 2 = 0$, $3x + y – 12=0.$
Bài 59. Viết phương trình của đường thẳng $Delta$ đi qua gốc toạ độ và tạo với hai đường thẳng $(d_1): x – y + 12 = 0$ và $(d_2): 2x + y + 9 = 0$ một tam giác có diện tích là 1.5 đơn vị diện tích. (Write the equations of the line passing through the origin and forming, together with the line $(d_1): x – y + 12 = 0$ and $(d_2): 2x + y + 9 = 0$ a triangle of an equal to 1.5 square units.)
Hướng dẫn.
Gọi phương trình $Delta$ có dạng $y = kx$.
Đường thẳng $Delta$ cắt $(d_1)$ tại $Aleft(frac{12}{k-1}; frac{12k}{k – 1}right)$ và cắt cắt $(d_2)$ tại $Bleft(frac{-9}{k + 2}; frac{-9k}{k + 2}right)$; $(d_1)$ cắt $(d_2)$ tại điểm $C(-7; 5)$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S = frac{3}{2}leftvertfrac{(7k + 5)^2}{(k – 1)(k + 2)}rightvert$.
Giải phương trình $S = frac{3}{2}$, ta được $k = -frac{1}{2}$ và $k = -frac{23}{25}$.
Đáp số $x + 2y = 0$, $23x + 25y = 0$.
Bài 60. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, điểm $Mleft(2; frac{5}{2}right)$ là trung điểm của cạnh $AB$, $B(1;0)$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$ và $C$ biết rằng diện tích của tam giác $ABC$ bằng 10 (đ.v.d.t) và toạ độ các đỉnh $A$ và $C$ là các số nguyên.
Hướng dẫn. $A(3;5)$, $C(5;0)$; hoặc $A(5; 0)$, $C(3;5)$ hoặc $A(3;5)$, $C(1;10)$ hoặc $A(1;10)$, $C(3;5)$.
Bài 61. Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng 24 và phương trình các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$ lần lượt là $$Delta_1: x – y +2 = 0, Delta_2: 5x – y – 2 = 0, Delta_3: x + 3y – 10 = 0. $$ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác $ABC$.
Hướng dẫn.
Gọi $A(x_1; x_1 + 2)$, $B(x_2; 5x_2 – 2)$. Điểm $G(1;3)$ là trọng tâm tam giác $ABC$, nên tìm được toạ độ điểm $C$ theo $x_1$ và $x_2$.
Tìm $x_1$, $x_2$ từ các điều kiện $C$ thuộc trung tuyến $Delta_3$ và tam giác $ABC$ có diện tích bằng 24.
Đáp số $A(5;7)$, $B(0;-2)$, $C(-2;4)$ hoặc $A(-3; -1)$, $B(2; 8)$, $C(4; 2)$.
2.6. Hình chữ nhậtBài 1. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có $ AD=2AB $ và $ A(1,5). $ Phương trình đường chéo $ BD:3x+4y-13=0. $ Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết điểm $ B $ có hoành độ âm.
Hướng dẫn. Gọi véctơ pháp tuyến của $ AB $ và sử dụng $ coswidehat{ABD}=frac{1}{sqrt{5}} $. Đáp số $ B(-1,4). $
Bài 2. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có phương trình đường thẳng $ AB:x-2y+1=0, $ phương trình đường thẳng $ BD:x-7y+14=0, $ đường thẳng $ AC $ đi qua $ M(2,1). $ Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Hướng dẫn. Tìm được $ B(frac{21}{5},frac{13}{5}) $ và viết phương trình $ BC. $ Có $ widehat{(AC,BD)}=widehat{BID}=2widehat{ABD}=2widehat{(AB,BD)}, $ suy ra $ AC:17x-31y-3=0 $ hoặc $ AC:x+y-3=0. $
Bài 3. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có cạnh $ AB:x-2y-1=0, $ đường chéo $ BD:x-7y+14=0 $ và đường chéo $ AC $ đi qua điểm $ M(2,1). $ Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Hướng dẫn. Sử dụng $ cos(AB,AC)=cos(AB,BD). $ Đáp số $ B(7,3),C(6,5),A(1,0),D(0,2) $ hoặc…
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ cho hình chữ nhật $ ABCD $ có tâm $ I(frac{1}{2},0). $ Đường thẳng $ AB $ có phương trình $ x-2y+2=0,AB=2AD $ và hoành độ điểm $ A $ âm. Tìm tọa độ các đỉnh.
Hướng dẫn. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ I $ lên $ AB $ thì $ AH=2IH… $ Đáp số. $A(-2,0),B(2,2),C(3,0),D(-1,-2).$
Bài 5. Cho hình chữ nhật $ ABCD, $ có diện tích bằng 12, tâm $ I $ là giao điểm của hai đường thẳng $ d_1:x-y-3=0,d_2:x+y-6=0. $ Trung điểm của một cạnh là giao điểm của $ d_1 $ với trục $ Ox. $ Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Hướng dẫn. Chú ý rằng $ d_1 $ song song với hai cạnh của hình chữ nhật. Đáp số $A(3,1),D(4,-1),C(7,2),B(11,4)$ hoặc $ A(4,-1),D(2,1),C(5,4),B(13,2) $.
Bài 6. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có diện tích bằng $ 6 $. Phương trình đường thẳng chứa đường chéo $ BD $ là $ d:2x + y – 11 = 0 $, đường thẳng $ AB $ đi qua điểm $ M (4; 2) $, đường thẳng $ BC $ đi qua điểm $ N (8; 4) $. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết các điểm $ B,D $ đều có hoành độ lớn hơn 4.
Bài 7. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có diện tích bằng 10, phương trình đường thẳng chứa cạnh $ AD $ là $ 3x – y = 0 $. Lấy điểm $ M $ đối xứng với $ D $ qua $ C $ và đường thẳng $ BM $ có phương trình $ 2x + y-10 = 0 $. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết đỉnh $ B $ có hoành độ dương.
Bài 8. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có $ AD=2AB. $ Gọi $ M,N $ là trung điểm $ AD,BC. $ Lấy $ K $ thuộc $ MN $ sao cho $ N $ là trung điểm $ MK. $ Tìm tọa độ $ A,B,C,D $ biết $ K(-5,1),AC:2x+y-3=0 $ và điểm $ A $ có tung độ dương.
Hướng dẫn. Gọi $ I $ là tâm hình chữ nhật thì $ cos widehat{MIA}=frac{1}{sqrt{5}.} $ Từ đó tìm được phương trình $ MK$ suy ra tọa độ $ I$ suy ra tọa độ $ M$ suy ra…
Bài 9. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có đỉnh $ C $ thuộc đường thẳng $d:x+3y+7=0$ và $ A(1,5). $ Lấy $ M $ thuộc tia đối của $ CD $ sao cho $ MC=2BC. $ Gọi $ N $ là hình chiếu của $ B $ lên $ MD. $ Xác định tọa độ $ B,C $ biết $ N(-frac{5}{2},frac{1}{2}). $
Hướng dẫn. Gọi $ C(-3c-7,c) $ thì tâm hình chữ nhật là $ Ileft(frac{-3c-6}{2},frac{c+5}{2}right).$ Tam giác $ DNB $ vuông tại $ N $ nên $ IN=IB=ID=IA $. Từ đó tìm được $ C(2,-3). $ Gọi $ B(m,n) $ thì từ $ ABperp BC $ được phương trình $$ (m-1)(m-2)+(n-5)(n+3)=0 $$ Từ $ overrightarrow{CM}=2overrightarrow{BC} $ suy ra $ M(6-2m,-9-2n)$. Mà $ MNperp BN $ nên được phương trình $$ left(m+frac{5}{2}right)left(frac{17}{2}-2mright)+left(n-frac{1}{2} right)left(-frac{19}{2}-2nright)=0 $$ Giải hệ tìm được $ m,n… $
Bài 10. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có phân giác trong góc $ widehat{ABC} $ đi qua trung điểm $ M $ của $ AD. $ Phương trình đường thẳng $ BM:x-y+2=0. $ Điểm $ D $ thuộc đường thẳng $ d:x+y-9=0 $ và $ E(-1,2) $ là điểm thuộc đường thẳng $ AB. $ Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết điểm $ B $ có hoành độ âm.
Hướng dẫn. Chỉ ra tam giác $ ABM $ vuông cân tại $ A $. Gọi véctơ pháp tuyến của $ AB $ là $ vec{n}(a,b) $ và tìm được $ ab=0 $. Từ đó tìm được $ B(-1,1). $ Gọi $ A(-1,m) $ và $ D(n,9-n) $ thì trung điểm của $ AD $ là $ M(frac{n-1}{2},frac{9-n+m}{2}) $ thuộc $ BM. $ Suy ra phương trình $ 2n-m-6=0. $ Kết hợp với $ overrightarrow{AD}perp overrightarrow{AB} $ được hệ. Đáp số $ A(-1,4),C(5,1),D(5,4). $
Bài 11. Cho hình chữ nhật $ABCD$ biết phương trình cạnh $BC$ là $x + 2y – 4 = 0$, phương trình đường chéo $BD$ là $3x + y – 7 = 0$, đường chéo $AC$ đi qua điểm $M(-5;2)$. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$.
Hướng dẫn. $A(4;5)$, $B(2;1)$, $C(-2; 3)$, $D(0; 7)$.
Bài 12. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích bằng 12, tâm $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $$d_1: x – y – 3 = 0, d_2: x + y – 6 = 0.$$ Trung điểm của một cạnh là giao điểm của đường thẳng $d_1$ với trục $Ox$. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$.
Hướng dẫn. $(2;1)$, $(5;4)$, $(7;2)$, $(4;-1)$.
Bài 13. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích bằng 12, tâm $Ileft(frac{9}{2}; frac{3}{2}right)$ và trung điểm của cạnh $AD$ là $M(3;0)$. Xác định toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$.
Hướng dẫn. $(2;1)$, $(5;4)$, $(7;2)$, $(4;-1)$.
Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $I(6;2)$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Điểm $M(1;5)$ thuộc đường thẳng $AB$ và trung điểm $E$ của cạnh $CD$ thuộc đường thẳng $Delta:x+y-5=0$. Viết phương trình đường thẳng $AB$.
Hướng dẫn. $AB:y-5=0$ hoặc $AB: x – 4y + 19 = 0.$
2.7. Hình vuôngBài 1. [Đề thi khối A năm 2005] Cho hai đường thẳng $ d_1:x-y=0, d_2:2x+y-1=0. $ Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông $ ABCD $ biết rằng đỉnh $ A $ thuộc $ d_1 $ đỉnh $ C $ thuộc $ d_2 $và các đỉnh $ B, D $ thuộc trục hoành.
Hướng dẫn. Nhận xét $ BD $ trùng với $ Ox. $ Gọi $ A(t,t)in d_1. $ Vì $ A,C $ đối xứng nhau qua $ BD $ nên $ C(t,-t). $ Mà $ Cin d_2 $ nên tìm được $ C(1,-1) $ và $ A(1,1). $ Gọi trung điểm của $ AC $ là $ I(1,0). $ Vì $ I $ là tâm hình vuông nên $ IB=ID=IA=1. $ Đáp số $ B(0,0),D(2,0) $ hoặc $ D(0,0),B(2,0). $
Bài 2. Cho hình vuông có đỉnh $ (-4,5) $ và một đường chéo có phương trình $ 7x-y+8=0. $ Viết phương trình các cạnh hình vuông.
Hướng dẫn. $3x-4y+32=0,4x+3y+1=0…$
Bài 3. [Đề thi thử trường Cổ Loa năm 2023] Cho hình vuông $ ABCD $ có $ M $ là trung điểm $ BC, N $ thuộc đoạn $ AC $ sao cho $ AC=4AN. $ Đường thẳng $ MN $ có phương trình $ 3x-y-4=0 $ và $ D(5,1). $ Tìm tọa độ điểm $ B $ biết điểm $ M $ có tung độ dương.
Hướng dẫn. Kẻ $ NHperp BC, NKperp DC. $ Chứng minh $ Delta DNK=Delta MNH $ từ đó suy ra $ Delta DNM $ vuông cân tại $ N. $ Suy ra phương trình $ DN:x+3y-8=0. $ Do đó $ N(2,2). $ Ta có $ Min MN $ nên $ M(m,3m-4) $ mà $ DN=MN $ nên tìm được $ M(3,5). $ Gọi $ P=MNcap AD $ thì $ overrightarrow{MN}=3overrightarrow{NP} $ suy ra $ P(frac{5}{3},1). $ Chứng minh $ overrightarrow{DP}=frac{5}{6}overrightarrow{DA}. $ Suy ra tọa độ $ B(1,5).$
Bài 4. [Đề thi thử THPT Can Lộc 2014] Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy, $ cho hình vuông $ ABCD. $ Trên các cạnh $ AD, AB $ lấy hai điểm $ E $ và $ F $ sao cho $ AE = AF. $ Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ BE. $ Tìm tọa độ của $ C $ biết $ C $ thuộc đường thẳng $ d: x -2y + 1 = 0 $ và tọa độ $ F(2, 0), H(1, -1). $
Hướng dẫn. Gọi $ M $ là giao điểm của $ AH $ và $ CD. $ Ta có $ widehat{ABE}=widehat{DAM} $ nên hai tam giác $ ABE $ và $ ADM $ bằng nhau. Do đó $ DM = AE = AF, $ suy ra $ BCMF $ là hình chữ nhật. Gọi $ I $ là tâm hình chữ nhật $ BCMF. $ Trong tam giác vuông $ MHB $ ta có $ BM=2HM $ mà $ BM=CF $ nên tam giác $ CHF $ vuông tại $ H. $ Đáp số $C(-frac{1}{3},frac{1}{3}).$
Bài 5. Cho hình vuông $ ABCD $ có tâm $ I $, điểm $ K (0; 2) $thuộc đoạn $ IA $. Giả sử $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của cạnh $ AB,CD $ và cùng nằm trên đường thẳng $ d:x – 1 = 0 $. Điểm $ Q $ là giao của $ KM $ với $ BC $. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông $ ABCD $ biết điểm $ H (4; 8) $ thuộc đường thẳng $ NQ $.
Hướng dẫn. Gọi véctơ pháp tuyến của $ AC $ là $ vec{n}(a,b) $ thì từ $ widehat{AIM}=45^circ $ tìm được $ a=pm b. $ Sau đó xét hai trường hợp.
Bài 6. Cho hình vuông $ABCD$ có $M$ là trung điểm cạnh $BC$, đường thẳng $DM$ có phương trình $x – y – 2 = 0$, điểm $C(3;-3)$, điểm $A$ thuộc đường thẳng $(d): 3x + y – 2 = 0$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$, $B$, $D$.
Hướng dẫn. Đáp số $A(-1; 5)$, $B(-3;-1)$, $D(5;3)$.
2.8. Tứ giác khácBài 1. Cho hình thang cân $ ABCD $ có $ CD = 2AB $, phương trình hai đường chéo $ AC $ và $ BD $ lần lượt là $ x + y – 4 = 0$ và $ x – y – 2 = 0 $. Biết rằng tọa độ hai điểm $ A $ và $ B $ đều dương và diện tích hình thang bằng 36. Tìm tọa độ các đỉnh hình thang.
Hướng dẫn. Từ diện tích hình thang bằng 36 tìm được $AC=BD=6sqrt{2}. $ Hai tam giác $ AIB $ và $ CID $ đồng dạng nên tìm được $ IA=IB=frac{1}{3}AC=2sqrt{2}. $ Lấy $ A(a,4-a) $ và $ B(b,b-2) $ lập hai phương trình tìm được $ A(1,3) $ và $ B(5,3). $ Từ đó tìm được $ C(7,-3) $ và $ D(-1,-3). $
Bài 2. Cho hình thang cân $ ABCD $ có diện tích bằng $ frac{45}{2}, $ đáy lớn $ CD $ có phương trình $ x-3y-3=0. $ Biết hai đường chéo $ AC,BD $ vuông góc với nhau và cắt nhau tại $ I(2,3). $ Viết phương trình đường thẳng $ BC $ biết điểm $ C $ có hoành độ dương.
Hướng dẫn. Từ tam giác $ ICD $ vuông cân tại $ I $ tìm được $ IC=sqrt{20}. $ Gọi $ C(3c+3,c) $ thì $ IC^2=10 $ nên $ C(6,1) $. Suy ra phương trình $ BD:2x-y-1=0 $ và tọa độ $ D(0,-1) $. Đặt $ IA+IB=x $ và biểu diễn diện tích hình thang theo $ x $ là $ frac{1}{2}x^2+2xsqrt{5}+10=frac{45}{2} $. Từ đó tìm được $ x=sqrt{5}. $ Đáp số $ BC:4x+3y-27=0. $
Bài 3. Cho hình thang $ ABCD $ có diện tích bằng $ frac{45}{8}. $ Phương trình hai cạnh đáy là $ AB:x-3y+1=0 $ và $ CD:2x-6y+17=0 $. Hai cạnh $ AD,BC $ cắt nhau tại $ K(2,6) $, hai đường chéo cắt nhau tại $ I(1,frac{7}{3}) $. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang.
Hướng dẫn. Từ diện tích hình thang bằng $ frac{45}{8} $ suy ra $ AB+CD=frac{3sqrt{10}}{2}. $ Từ các tam giác đồng dạng, suy ra $ AB=2CD=sqrt{10}. $ Suy ra $ CD $ là đường trung bình của tam giác $ KAB. $ Gọi giao điểm của $ KI $ và $ AB,CD $ là $ M,N $ thì $ M,N $ là trung điểm $ AB,CD. $ Tìm được $ M(frac{1}{2},frac{1}{2}) $ và đáp số $ A(2,1),B(-1,0),C(2,frac{7}{2}),D(frac{1}{2},3). $
Bài 4. Cho hình thoi $ ABCD $ có tâm $ I (3;3) $ và $ AC= 2BD $. Điểm $ M(2,frac{4}{3}) $ thuộc đường thẳng $ AB $, điểm $ N(3,frac{13}{3}) $ thuộc đường thẳng $ CD $. Viết phương trình đường chéo $ BD $ biết điểm $ B $ có hoành độ nhỏ hơn 3.
Hướng dẫn. Lấy $ P $ đối xứng với $ N $ qua tâm $ I $ thì $ Pin AB. $ Đáp số $ BD:7x-y-18=0. $
Bài 5. Cho hình thoi $ ABCD $ có $ BD:x-y=0. $ Đường thẳng $ AB $ đi qua $ P(1,sqrt{3}). $ Đường thẳng $ CD $ đi qua $ Q(-2,-2sqrt{3}). $ Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi biết $ AB=AC $ và $ B $ có hoành độ lớn hơn 1.
Hướng dẫn. Chỉ ra tam giác $ABC$ đều, do đó góc giữa $ AB $ và $ BD $ là $ 30^circ. $ Gọi véctơ pháp tuyến của $ AB $ và tìm được $ B(2,2). $
vuông góc các trung điểm của $ AB $ và $ CD $ xuống đường thẳng $ AC $ là $ H $ và $ N $. Biết $HN=frac{6}{sqrt{13}}, C(2; 4)$. Đỉnh $ A $ thuộc đường thẳng $ 5x+4y-4=0 $, đường thẳng $ 8x-5y- 11=0 $ đi qua đỉnh $ B $. Xác định tọa độ các đỉnh $ A, B, D $.
và [ overrightarrow{AC}.overrightarrow{BD}=(overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC})overrightarrow{BD}=-a^2,overrightarrow{AC}.overrightarrow{IJ}=overrightarrow{AC}.frac{overrightarrow{AC}+overrightarrow{BD}}{2}=6a^2 ] Mặt khác $ overrightarrow{AC}.overrightarrow{IJ}=overline{AC}.overline{HN}=asqrt{13}HN=frac{6a}{sqrt{13}} $. Suy ra $ a=1, $ và $ BC=3,AC=sqrt{13}. $ Từ đó tìm được đáp số $ A(0,1) $ hoặc $ A(-frac{56}{41},frac{111}{41}). $
Bài 7. Viết phương trình các cạnh của hình thang cân $ABCD$ biết rằng trung điểm của các cạnh đáy $AB$ và $CD$ lần lượt là $I(2;2)$ và $J(-4;6)$; hai điểm $M(4;-5)$ và $N(-5;7)$ lần lượt thuộc hai cạnh bên $AD$ và $BC$.
Hướng dẫn. $AB: 3x – 2y – 2 = 0$, $CD: 3x – 2y + 24 = 0$, $BC: 4x + 185y -1025 = 0$, $AD:150x + 121y + 5 = 0$
Bài 8. Cho hình bình hành $ABCD$ có $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $N$ là trung điểm của đoạn $MD$, $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $AN$ và $CD$. Tìm toạ độ các đỉnh $C$ và $D$ biết rằng $A(1;2)$, $B(4;-1)$, $P(2;0)$.
Hướng dẫn. $D(0;2)$; $C(3;-1)$.
$$ Trung điểm một cạnh của hình thoi là $I(2;1)$. Viết phương trình cạnh $PQ$ của hình thoi.
Hướng dẫn. $x + 2y +2=0$ hoặc $x + 2y -10 = 0.$
Bài 10. Cho hình thoi $ABCD$, cạnh $BC$ có phương trình $x + 3y – 8 = 0$, đường chéo $AC$ có phương trình $2x + y + 4 = 0$ và điểm $M(-9; -1)$ thuộc đường thẳng $AD$. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình thoi.
Hướng dẫn. $AD:x+3y + 12 = 0$, $CD: 3x – y + 16 = 0$ và $AB: 3x -y – 4 = 0.$
$$(d_1): x – 2y + 5 = 0, (d_2): x – 2y + 1 = 0.$$ Viết phương trình các đường thẳng $AD$ và $BC$, biết điểm $M(-3; 3)$ thuộc đường thẳng $AD$ và điểm $N(-1;4)$ thuộc đường thẳng $BC$.
Hướng dẫn. $BC: x + 2y – 7 = 0$, $AD:x + 2y – 3 = 0$ hoặc $BC: 11x – 2y +19 = 0$, $AD:11x – 2y + 39 = 0$.
Bài 12. Cho hình thoi $ABCD$ có $A(2;3)$, $widehat{ABC} = 60^circ$, phương trình đường thẳng $BD$ là $x – 2y + 2 = 0$. Xác định toạ độ các đỉnh $B$, $C$, $D$.
Bài 13. Viết phương trình các cạnh của hình thoi $ABCD$ biết rằng $A(-3;1)$, $B(5;7)$ và diện tích của hình thoi bằng $ 25 $.
3. Phương trình đường tròn
Đường tròn $ (C) $ tâm $ I(a;b), $ bán kính $ R $ có phương trình [ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 ]
Khai triển ra ta được dạng sau [ x^2+y^2-2ax-2by+c=0 ]
Đường thẳng $Delta$ tiếp xúc với đường tròn $ (I,R) $ khi và chỉ khi $$ d(I,Delta)=R $$ hoặc $ Delta $ vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Đường thẳng $Delta$ cắt đường tròn $ (I,R) $ theo dây cungindex{độ dài dây cung} $ AB, $ gọi $ H $ là trung điểm $AB$ thì $ IHperp AB $ và $ R^2=IH^2+AH^2. $
Chỉ có bài toán lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm thì gọi phương trình đường tròn rồi giải hệ ba ẩn, các bài toán còn lại ta đi tìm tọa độ tâm và bán kính.
3.1. Viết phương trình đường trònBài 1. Cho hai đường thẳng $ Delta:x+3y+8=0, Delta’:3x-4y+10=0 $ và điểm $ A (-2,1). $ Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng $ Delta $ đi qua điểm $ A $ và tiếp xúc với đường thẳng $ Delta’. $
Hướng dẫn. Gọi tọa độ tâm $ I $ của đường tròn $ (C). $ Đường thẳng $Delta’$ tiếp xúc $(C) Leftrightarrow d(I,Delta’)=IA.$
Bài 2. [Đại học Thái nguyên 1998] Cho $ A(4,0), B(0,4) $. Viết phương trình đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác $ AOB $.
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $ cho tam giác $ ABC, $ có điểm $ A(2,3) $ trọng tâm $ G(2,0). $ Hai đỉnh $ B $ và $ C $ lần lượt nằm trên hai đường thẳng $ d_1:x+y+5=0,d_2:x+2y-7=0. $ Viết phương trình đường tròn có tâm $ C $ và tiếp xúc với đường thẳng $ BG. $
Hướng dẫn. Tìm được $ B(-1,-4),C(5,1), BG:4x-3y-8=0. $ Suy ra $ R=d(C,BG). $ Đáp số $ (x-5)^2+(y-1)^2=frac{169}{25}. $
Bài 4. [ĐHQGHN 1996] Cho đường tròn $(C):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=9$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $ M(2;1) $ và cắt đường tròn $ (C) $ tại hai điểm $ A; B $ phân biệt sao cho $ M $ là trung điểm $ AB $.
Bài 5. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm $ A(2,5),B(4,1) $ và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình $Delta: 3x-y+9=0. $
Hướng dẫn. Gọi tọa độ tâm $ I(a,b). $ Từ $ IA=IB $ và $ IA=d(I,Delta) $ lập được hai phương trình…
Bài 6. Cho đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y+2=0.$ Viết phương trình đường tròn $ (C’) $ có tâm $ M(5,1) $ và cắt $(C)$ tại $ A,B $ sao cho $ AB=sqrt{3}. $
Hướng dẫn. Gọi $ H $ là giao điểm của $ AB $ và $ IM… $ Đáp số $ (x-5)^2+(y-1)^2=13. $
Bài 7. Cho tam giác $ ABC $ có diện tích bằng $frac{3}{2}, A(2; -3), B(3;-2)$, trọng tâm của $ ABC $ nằm trên đường thẳng $ d: 3x-y-8 = 0 $. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm $ A, B, C? $
Hướng dẫn. ${x^2} + {y^2} – frac{{11}}{3}x + frac{{11}}{3}y + frac{{16}}{3} = 0,{x^2} + {y^2} – frac{{91}}{3}x + frac{{91}}{3}y + frac{{416}}{3} = 0$
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy, $ cho đường tròn $ (C) : x^2 + y^2 + 2x -4y-20 = 0 $ và điểm $ A(5,-6). $ Từ $ A $ vẽ các tiếp tuyến $ AB, AC $ với đường tròn $ (C) $ với $ B, C $ là các tiếp điểm. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC. $
Bài 9. Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ với $ B(-3,0),C(3,0). $ Biết tâm $ I $ của đường tròn nội tiếp $ Delta ABC $ thuộc đường thẳng $ d:y = x. $ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC $ biết $ I $ có tung độ dương.
3.2. Phương trình tiếp tuyến của đường trònBài 1. Trong mặt phẳng $ Oxy $ cho $ A( 2;-1), B( -2;2) $. Viết phương trình đường tròn đường kính $ AB. $ Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $ A. $
Hướng dẫn. $ x^2 + {{(y-frac{1}{2})}^{2}}=frac{25}{4},-4x +3y + 11 = 0$
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $ (C): x^2 +y^2 -6x +2y = 0 $ vuông góc với đường thẳng $ 3x – y +6 = 0 $.
Hướng dẫn.$ x +3y +10 = 0, x +3y -10 = 0 $
Bài 3. [ĐHTCKT 1997] Cho đường tròn $(C):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=4$ và điểm $ M(2;4) $.
Viết phương trình đường thẳng đi qua $ M $ và cắt $ (C) $ tại hai điểm phân biệt $ A,B $ sao cho $ M $ là trung điểm $ AB $.
Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn đó biết tiếp tuyến có hệ số góc $ k = – 1 $.
Hướng dẫn.$ x-1=0,3x +4y -15 = 0 $
Bài 5. [ĐHNT 1997] Cho đường tròn $(C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$ và điểm $ A(3;5) $.
Hãy viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ $ A $.
Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với $ (C) $ tại $ M $ và $ N $. Hãy tính độ dài $ MN $.
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $ Oxy, $ cho đường tròn $ (C):x^2+y^2+2x-8y-8=0. $ Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng $ d:3x+y-2 =0 $ và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6.
Hướng dẫn. $ 3x+y+19=0,3x+y-21=0. $
Bài 2. Cho điểm $ M(6,2) $ và đường tròn $ (C) : (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5. $ Lập phương trình đường thẳng $ d $ đi qua $ M $ và cắt đường tròn $ (C) $ tại hai điểm $ A, B $ sao cho $ AB = sqrt{10}. $
Hướng dẫn. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ I $ lên $ AB $ thì $ IH^2=IA^2-AH^2=frac{5}{2}. $ Giả sử véctơ pháp tuyến của $ d $ là $ vec{n}(a,b) $ thì phương trình đường thẳng $ d$ là $ a(x-6)+b(y-2)=0. $ Từ $ d(I,d)=IH $ tìm được $ b=pm 3a. $ Đáp số $x-3y=0, x+3y-12=0.$
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy, $ cho điểm $ K(3,2) $ và đường tròn $ (C):x^2+y^2-2y-4y+1=0 $ có tâm là $ I. $ Tìm tọa độ điểm $ Min(C) $ sao cho $ widehat{IMK} = 60^circ. $
Hướng dẫn. $ (C) $ có tâm $ I(1,2) $ và bán kính $ R=2. $ Có $ IK=2 $ nên tam giác $ IMK $ cân tại $ I. $ Do đó $ widehat{IMK} = 60^circ Leftrightarrow Delta IMK$ đều. Giả sử $ M(x_0,y_0) in (C) $ thì $ (x_0-1)^2+(y_0-2)^2=4 $ và $ KM=2 Leftrightarrow (x_0-3)^2+(y_0-2)^2=4. $ Từ đó tìm được $M(2,2+sqrt{3}), M(2,2-sqrt{3}).$
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy, $ cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ nội tiếp đường tròn $ (C):x^2+y^2+2x-4y + 1 = 0. $ Tìm tọa độ các đỉnh $ A, B, C $ biết điểm $ M(0, 1) $ là trung điểm cạnh $ AB $ và $ A $ có hoành độ dương.
Hướng dẫn. Có $ IMperp AB $ nên viết được $ AB:x-y+1=0. $ Giả sử $ A(a,a+1) $ thì $ IA=2 $ nên tìm được $A(1,2),B(-1,0),C(-1,4).$
Bài 5. [Đề thi thử ĐH Vinh 2014] Cho tam giác $ ABC $ có $ A(3,3) $ và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là $ I(2,1). $ Phân giác trong của góc $ widehat{BAC} $ là $ x-y=0. $ Tìm tọa độ điểm $ B,C $ biết $ BC=frac{8}{sqrt{5}} $ và tam giác $ ABC $ nhọn.
Hướng dẫn.
$ AD $ là phân giác trong nên $ AD $ cắt đường tròn tại $ E $ là điểm chính giữa cung $ BC Rightarrow IEperp BC. $
$ Ein AD $ và $ IE=IA=R $ nên tìm được $ E(0,0) Rightarrow BC:2x+y+m=0.$
$ d(I,BC)=IH=sqrt{IB^2-BH^2} $ từ đó tìm được $ m=-2 $ hoặc $ m=-8 $ (loại vì tam giác $ ABC $ nhọn nên $ I,A $ cùng phía so với $ BC$).
Đáp số. $ (0,2) $ và $ (frac{8}{5},-frac{6}{5}). $
Bài 6. Trong mặt phẳng $ Oxy $ cho đường tròn $ (C) : x^2 + y^2 + 2x – 4y – 8 = 0 $ và đường thẳng $d: x-5y-2 = 0. $ Xác định tọa độ giao điểm $ A, B $ của đường tròn $ (C) $ và đường thẳng $ d $ (cho biết điểm $ A $ có hoành độ dương). Tìm tọa độ điểm $ C $ thuộc đường tròn $ (C) $ sao cho tam giác $ ABC $ vuông ở $ B. $
Bài 7. [Đề thi thử ĐH Vinh K.A] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy, $ cho đường tròn $ (C):(x-2)^2+(y-1)^2=5 $ và đường thẳng $ d:x-3y-9=0. $ Từ điểm $ M $ thuộc $ d $ kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với $ (C) $ lần lượt tại $ A $ và $ B. $ Tìm tọa độ điểm $ M $ sao cho độ dài $ AB $ nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Giả sử $ (3m+9,m) in d.$ Từ tính chất tiếp tuyến ta có $ MIperp AB $ tại trung điểm $ H $ của $ AB. $ Tính được $ AH^2=R^2-frac{R^4}{IM^2}. $ Từ đó có $ AB $ nhỏ nhất $ Leftrightarrow IM $ nhỏ nhất khi $ m=-2. $
Đáp số $ M(3,-2). $
Bài 8. [Đề thi thử Chuyên Hà Tĩnh 2014] Cho hai đường tròn: $ (C): x^2 + y^2 – 4x – 4y +4 = 0 $ và $ (C’): x^2 + y^2 – 16x +8y+ 28 = 0. $ Viết phương trình đường thẳng qua $ A(4,2) $ cắt các đường tròn trên theo các dây cung có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn. $ A(4,2), B(2,0) $ là các giao điểm của $ (C) $ và $ (C’). $ Có đường thẳng qua $ A, B $ có phương trình: $ x-y-2=0 $ là một trường hợp cần tìm. Gọi $ K $ là trung điểm $ II’ $ thì đường thẳng qua $ A $ và vuông góc với $ KA $ là một trường hợp nữa thỏa mãn yêu cầu. Đáp số $x-y-2=0, x-3y+2=0.$
Bài 9. [Đề thi khối A năm 2010] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d_1:sqrt{3}x + y = 0$ và $d_2 :sqrt{3}x – y = 0$. Gọi $(T)$ là đường tròn tiếp xúc với $d_1$ tại $A$, cắt $d_2$ tại hai điểm $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Viết phương trình của $(T)$, biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $frac{sqrt{3}}{2}$ và điểm $A$ có hoành độ dương.
Hướng dẫn. $left(x + frac{1}{2sqrt{3}}right)^2 + left(y + frac{3}{2}right)^2 = 1$.
Bài 10. Cho đường tròn $mathcal{(C)}: (x – 4)^2 + y^2 = 25$ và điểm $M(1;-1)$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $M$ và cắt đường thẳng r $mathcal{(C)}$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $MA = 3MB$.
Hướng dẫn. $2x + y + 3 = 0,x + 2y + 1 = 0$.
Bài 11. Cho hai đường tròn $$ mathcal{(C)}: (x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 5 text{ và } mathcal{(C’)}: (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 9. $$ Viết phương trình đường thẳng $Delta$ tiếp xúc với $mathcal{(C)}$ và cắt $mathcal{(C’)}$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB = 4$.
Hướng dẫn. $x – 2y = 0$, $x – 2y – 10 = 0$ hoặc $x + y – 2 = 0$, $x + 7y – 6 = 0$.
end{equation*} Viết phương trình đường thẳng $Delta$ tiếp xúc với $mathcal{(C)}$ và cắt $mathcal{(C’)}$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB = 2sqrt{2}$.
Hướng dẫn. $x – y – 2 = 0$, $7x – y – 2 = 0$.
mathcal{(C)}: x^2 + y^2 -4x -2y – 8 = 0. end{equation*} Đỉnh $A$ thuộc tia $Oy$, đường cao vẽ từ $C$ nằm trên đường thẳng $(d): x + 5y = 0$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$, $B$, $C$ biết rằng đỉnh $C$ có hoành độ là một số nguyên.
Hướng dẫn. $A(0;4)$, $B(-1;-1)$, $C(5;-1)$
Bài 14. Cho đường tròn $mathcal{(C)}: x^2 + y^2 -4x +2y – 15 = 0$. Gọi $I$ là tâm của $mathcal{(C)}$. Đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $M(1;-3)$ cắt $mathcal{(C)}$ tại hai điểm $A$, $B$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$, biết tam giác $IAB$ có diện tích bằng 8 và cạnh $AB$ có độ dài lớn nhất.
Hướng dẫn. $y + 3 = 0$, $4x + 3y + 5 = 0$
Bài 15. Cho đường tròn $mathcal{(C)}: x^2 + y^2 – 2x – 6y + 6 = 0$ và điểm $M(-3;1)$. Gọi $A$ và $B$ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $mathcal{(C)}$. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ lên đường thẳng $AB$.
Hướng dẫn. $left(frac{1}{5}; frac{13}{5}right)$
Bài 16. [Đề dự bị 2, B, 2008] Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(3;0)$ và $B(0;4)$. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ tiếp xúc với đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh tam giác $OAB$.
Bài 17. Cho đường tròn $mathcal{(C)}: x^2 + y^2 + 2x – 10y + 16 = 0$ và điểm $M(-2;3)$. Tìm toạ độ hai điểm $A$, $B$ thuộc $mathcal{(C)}$ sao cho đường thẳng $AB$ đi qua điểm $M$ và đoạn thẳng $AB$ ngắn nhất.
Hướng dẫn. $(-4;4)$ và $(0;2)$
Bài 18. [B2006] Cho đường thẳng r $(C):x^2+y^2-2x-6y+6=0$ và điểm $M(-3;1)$. Gọi $T_1$ và $T_2$ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ điểm $M$ đến $(C)$. Viết phương trình đường thẳng $T_1T_2$.
Hướng dẫn. $2x+y-3=0$
Hướng dẫn. $M(0;4)$
Bài 20. (Đề minh hoạ A2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $mathcal{(C)}$ có phương trình $x^2+y^2 – 6x + 5=0$. Tìm điểm $M$ thuộc trục tung sao cho qua $M$ kẻ được hai tiếp tuyến của $mathcal{(C)}$ mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng $60^circ.$
Hướng dẫn. $M_1(0;sqrt{7})$ và $M_2(0;-sqrt{7})$
Bài 21. (Dự bị A2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $mathcal{(C)}$ có phương trình $x^2 + y^2 = 1$. Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để trên đường thẳng $y=m$ tồn tại đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với $mathcal{(C)}$ sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng $60^circ$.
Hướng dẫn. $-2 < m < -frac{2}{sqrt{3}}$ hoặc $frac{2}{sqrt{3}} < m <2.$
Bài 22. [D2007] Cho đường tròn $mathcal{(C)}:(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$ và đường thẳng $d:3x-4y+m=0$. Tìm $m$ để trên $d$ có duy nhất một điểm $P$ mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến $PA$, $PB$ tới $mathcal{(C)}$ sao cho tam giác $PAB$ đều ($A$, $B$ là hai tiếp điểm).
Hướng dẫn. $m = 19$, $ m = -41$.
Bài 23. Cho đường tròn $mathcal{(C)}: x^2 + y^2 +2x -4y – 20 = 0$ và điểm $A(5;-6)$. Từ $B$ vẽ các tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn ($B$, $C$ là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng r nội tiếp tam giác $ABC$.
Hướng dẫn. $(x – 2)^2 + (y + 2)^2 = frac{25}{4}$.
Bài 24. Cho đường tròn $mathcal{(C)}: x^2 + y^2 -6x -10y + 9 = 0$ và đường thẳng $(d): x + 2y – 3 = 0$. Chứng minh rằng $(d)$ cắt $mathcal{(C)}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$. Tìm toạ độ điểm $M$ trên $mathcal{(C)}$ sao cho tam giác $MAB$ cân tại $M$.
Hướng dẫn. $M_1(3 + sqrt{5}; 5 + 2sqrt{5})$, $M_2(3 – sqrt{5}; 5 – 2sqrt{5})$.
4. Bài tập tổng hợpBài 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $ A(-1;1) $ và $ B(2;3) $. Chứng minh rằng ba điểm $ O,A,B $ không thẳng hàng và viết phương trình các cạnh của $ Delta AOB $. Viết phương trình đường cao qua $ A $, phân giác trong qua $ A $ của $ Delta AOB $. Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của $ Delta AOB. $ Tìm tọa độ điểm $ A’ $ đối xứng với $ A $ qua đường thẳng $ BO $. Viết phương trình đường thẳng qua $ A $ và song song với $ BO $. Viết phương trình đường thẳng qua $ A $ tạo với $ BO $ góc $60^{circ}$.
Bài 2. Cho tam giác $ ABC $ có $ M(2;1) $ là trung điểm cạnh $ AC $, điểm $ H(0;-3) $ là chân đường cao kẻ từ $ A $, điểm $ E(23;-2) $ thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ $ C $. Tìm tọa độ điểm $ B $ biết điểm $ A $ thuộc đường thẳng $ d:2x+3y-5=0 $ và điểm $ C $ có hoành độ dương.
Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có đỉnh $ A(3;3) $ tâm đường tròn ngoại tiếp $ I(2;1) $ phương trình đường phân giác trong góc $ widehat{BAC} $ là $ x-y=0 $. Tìm tọa độ các đỉnh $ B, C $ biết rằng $ BC=8/sqrt{5} $ và góc $ widehat{BAC} $ nhọn.
Bài 4. Cho tam giác $ ABC $ có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ $ B $ là $ x+3y-18=0 $, phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng $ BC $ là $ 3x+19y-279=0 $, đỉnh $ C $ thuộc đường thẳng $ d:2x-y+5=0 $. Tìm tọa độ đỉnh $ A $ biết rằng $ widehat{BAC}=135^{circ} $.
Bài 5. Cho hình vuông $ ABCD $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC, N $ nằm trên cạnh $ CD $ sao cho $ CN=2ND $. Biết $ M=(frac{11}{2};frac{1}{2}) $ và $AN$ có phương trình $ 2x-y-3=0 $. Tìm tọa độ đỉnh $ A $.
Bài 6. Cho tam giác $ ABC $ có đường cao $ AH:3x+4y+10=0 $, phân giác trong $ BE:x-y+1=0 $. Điểm $ M(0;2) $ thuộc $ AB $ và cách $ C $ một khoảng $ sqrt{2} $. Tính diện tích tam giác $ABC$.
Bài 8. Cho $ Delta ABC $ có tâm đường tròn ngoại tiếp $ I(4;-1) $, đường cao và trung tuyến qua $ A $ có phương trình lần lượt là $ d_1:x+y-1=0,d_2:x+2y-1=0 $. Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của nó.
Bài 9. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $. Cạnh $ AB $ có phương trình là $ x-y+3=0 $. Điểm $ I(0;1) $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $. Tìm tọa độ các đỉnh $ A, B, C, D $ nếu $ AB=3AD $ và điểm $ A $ có hoành độ lớn hơn hoành độ của điểm $ B $.
Bài 10. Cho hình vuông $ MNPQ $. Biết $ MN,NP,PQ,QM $ lần lượt đi qua các điểm có tọa độ $ A(10;3),B(7;-2),C(-3;4),D(4;-7) $. Lập phương trình $ MN $.
Bài 13. Lập phương trình các cạnh của tam giác đều $ ABC $ biết $ A(3; -5) $ và trọng tâm $ G(1; 1) $.
Bài 14. Viết phương trình cạnh $ AB $ (đường thẳng $ AB $ có hệ số góc dương), $ AD $ của hình vuông $ ABCD $ biết tọa độ $ A(2; -1) $ và đường chéo $ BD: x+2y-5=0 $.
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $ Oxy $ cho hai điểm $ A(1;-1) $ và $ B(4;3) $. Tìm toạ độ các điểm $ C $ và $ D $ sao cho tứ giác $ ABCD $ là hình vuông.
Nên Tập Gym Ở Nhà Hay Đến Phòng Tập
Tập ở nhà
Khi tập ở nhà bạn có rất nhiều nguồn thông tin trên mạng, qua băng dĩa, sách vở và các ứng dụng tập luyện, có thể bạn sẽ tìm ra được cho mình bài tập phù hợp.
Bạn cũng tiết kiệm được một khoảng thời gian lái xe tới phòng Gym, bạn có thể tập luyện ở mức độ nào tùy thích, không giống như những lớp học nhóm hay cá nhân, bạn cũng có được sự riêng tư cho riêng mình, và điều này khá quan trọng, đặc biệt là với những nười kém tự tin hay không thoải mái lắm khi bắt đầu tập Gym hoặc tiếp xúc với người khác.
Ảnh: Ytimg
Nhưng dù là có rất nhiều sự hướng dẫn như thế, việc tập luyện tại gia cũng không thực sự dễ dàng. Đầu tiên, bạn phải biết chọn lọc thông tin, những bài tập trên mạng không phải lúc nào cũng đáng tin như bạn nghĩ. Thứ đến, bạn luôn phải giữ bản thân không bị phân tâm và tự tạo động lực đủ để bạn duy trì việc tập luyện. Khi được học cùng với người khác tại một trung tâm thể hình chẳng hạn hư UFC Gym, bạn chắn chắn sẽ được họ thúc đẩy. Nhưng khi tập một mình, có thể bạn bỗng nhiên thèm ăn, hoặc những cơn cám giỗ từ chiếc giường sẽ khiến bạn dừng việc tập luyện và không bao giờ tiếp tục chúng nữa.
Đến phòng tậpKhi đăng ký tập luyện ở một phòng tập như UFC GYm, bạn sẽ được làm quen được với nhiều người có cùng chí hướng tập luyện hơn, mở rộng các mối quan hệ xã hội, giữ được động lực luyện tập. Phòng tập cũng cung cấp cho bạn trang thiết bị mà sẽ rất tốn kém để mua sắm nếu bạn tập tại nhà, bao gồm các loại máy cardio, các loại tạ, và các thiết bị như TRX, kettlebells,…
Ảnh: Fattonybmx
Nhưng cũng có những hạn chế nhất định, phòng tập UFC Gym không dành cho những người nửa vời hôm tập hôm lại nghỉ, những người không thể tự dành ra chút thời gian trong ngày yêu lấy bản thân mình. Nếu bạn có thói quen như thế thì tốt nhất bạn nên tập ở nhà thì hơn để được tự do thoải mái muốn tập lúc nào cũng được. Đến với UFC Gym, bạn sẽ được tập luyện trong một môi trường kỷ luật thật sự, một võ đài nơi bạn phải đổ mổ hôi để có được thành công.
Một hướng đi khácHơn cả việc lựa chọn đến phòng tập hay tập tại gia, nhiều người đã kết hợp cả hai thứ, ví dụ như một người sẽ dành thời gian chạy bộ vòng quanh khu phố mỗi sáng xem như bài khởi động rồi sau đó lái xe đến phòng tập, hòa mình vào bầu khí luyện tập cao độ để được rèn luyện đúng mức và hiệu quả.
Ảnh: Onedio
Khi chọn lựa việc kết hơp tập luyện, hãy chắc bạn có thể làm điều này một cách lâu dài. Chìa khóa cho bất kì kế họach tập luyện nào là tính nhất quán, nếu cảm thấy ở nhà nhờ những huấn luyện viên mạng tốt hơn thì cứ tập ở nhà, nhưng nếu đến phòng tập giúp bạn tập trung và theo đúng nhịp độ hơn, hãy đăng ký một khóa học để trài nghiệm.
UFC Gym luôn có các khóa học phù hợp và dành riêng cho bạn, là trung tâm thể hình võ thuật tốt nhất Việt Nam hiện nay, UFC Gym đảm bảo sẽ mang đến môi trường luyện tập như ý và chất lượng tập luyện khiến bạn hài lòng.
Thanh Tú (Calipso)
Tìm hiểu thêm về các bộ môn của UFC Gym tại Việt Nam:
Quận 2 – Hồ Chí Minh Lầu 3, Thảo Điền Pearl, Số 12 Quốc Hương, P. Thảo Điền
Thông tin tham khảo xin vui lòng đăng nhập
Hotline: (028) 7108 9889
Thư Giãn Với Các Bài Tập Yoga Ngăn Chặn Suy Nghĩ Tiêu Cực
Cuộc sống càng hiện đại thì càng ngắn liền với những áp lực xung quanh chúng ta. Khi đối mặt với áp lực, việc xuất hiện những suy nghĩ tiêu cực là điều vô cùng dễ hiểu. Tuy nhiên, không phải ai cũng có thể biết cách để giải tỏa cũng như loại bỏ những suy nghĩ tiêu cực một cách hiệu quả.
Dưới góc nhìn từ các chuyên gia, chúng ta được lập trình để rà soát môi trường xung quanh, tìm kiếm những vấn đề cần chỉnh sửa và tiêu tốn nhiều sức lực tinh thần để cân nhắc tình huống xấu nhất có thể xảy ra. Suy nghĩ tiêu cực chỉ đáng lo ngại khi ta bắt đầu tin vào chúng.
Khi hệ thần kinh bị tác động mạnh mẽ, bạn dễ dàng bị choáng ngợp bởi những cảm xúc mạnh. Đó là lý do mà nhiều người đã tìm đến yoga như một phương pháp giúp họ thoát khỏi tình trạng hiện tại.
Yoga ngăn chặn suy nghĩ tiêu cực như thế nào?Căng thẳng, sợ hãi, lo lắng đó là những vấn đề của cuộc sống hiện đại mà chắc hẳn ai trong mỗi chúng ta cũng đều đã và đang trải qua. Tất nhiên những cảm xúc này xuất hiện trong cuộc sống của chúng ta là điều hiển nhiên và dễ hiểu.
Tuy nhiên, nếu để những cảm xúc này lấn át con người bạn, nó có thể là mối nguy hiểm không lường trước được. Vấn đề bắt đầu khi nỗi sợ trở nên dai dẳng và kinh khủng, can thiệp vào cuộc sống hàng ngày của chúng ta.
Sau đó, chúng sẽ trở thành rối loạn lo âu, một trạng thái căng thẳng, lo lắng quá mức hoặc là sợ hãi về những điều không biết. Hậu quả sẽ là những nỗi ám ảnh, vô hình chung đẩy bạn vào những hành động sai trái.
Căng thẳng lâu dài để lại nhiều hậu quả nguy hiểm khôn lường
Các bài tập yoga cơ bản được thiết kế đều là những bài tập không cần tiêu tốn quá nhiều năng lượng. Đây thường là các bài tập có chuyển động nhẹ nhàng và thư giãn, giúp chúng ta nhanh chóng lấy lại được trạng thái cân bằng.
Việc luyện tập yoga thường xuyên cũng mang đến cho bạn sức mạnh để bạn tự tin đối mặt với những sự kiện xảy đến trong cuộc sống một cách điềm tĩnh, có kiểm soát cảm xúc và hành vi của mình.
Các tư thế yoga giúp ngăn chặn suy nghĩ tiêu cực hiệu quả bất ngờ Tư thế cánh cungTư thế này giúp củng cố cơ lưng và cơ bụng, kích thích cơ quan sinh sản, mở rộng cơ ngực, cổ, vai, làm săn chắc chân và cánh tay, đồng thời cải thiện khả năng tập trung, giảm căng thẳng, mệt mỏi cho người tập.
Cách thực hiện
Bước 1: Nằm sấp trên thảm tập, hai chân và hai tay duỗi thẳng theo thân người.
Bước 2: Từ từ gập hai đầu gối và nâng lên phía trần nhà. Sau đó, lấy hai tay nắm lấy cổ chân và kéo căng. Đồng thời nâng ngực lên và mắt ngước nhìn về phía trước.
Bước 3: Cố gắng giữ tư thế ổn định, chú ý vào hơi thở của mình. Hai tay giữ chặt và kéo căng, sao cho cơ thể cảm nhận được sức căng. Tạo thế thăng bằng, toàn cơ thể uốn cong và căng như cây cung. Tiếp tục hít thở sâu trong khi thư giãn với tư thế này.
Bước 4: Giữ nguyên tư thế trong vòng 15 – 20 giây. Sau đó, từ từ trở về tư thế ban đầu và lặp lại động tác 4 – 5 lần.
Tư thế đầu sát đầu gốiTư thế này giúp xoa dịu tâm trí, xóa tan lo âu đặc biệt tốt với người thường hay suy nghĩ tiêu cực.
Cách thực hiện
Bước 1: Ngồi thẳng lưng trên tấm thảm tập, hai chân duỗi thẳng
Bước 2: Sau đó, bạn hơi thả người về phía sau, hai tay chống ra phía sau giữ cân bằng, hai chân đưa thẳng về phía trước
Bước 3: Từ tư co chân trái vào người, dùng tay kéo chân trái sát háng, sao cho lòng bàn chân trái tỳ lên đùi chân phải, chân phải vẫn để thẳng
Bước 4: Từ từ hạ đùi chân trái xuống sát thảm nhất có thể
Bước 5: Sau đó, từ từ hít vào thở ra một cách chậm rãi, cảm nhận rõ hơi thở
Bước 6: Cố gắng giữ nguyên tư thế trong vòng 1 – 2 phút sau đó quay trở lại vị trí ban đầu. Lặp đi lặp lại động tác 4 – 5 lần.
Tư thế cây cầuTư thế yoga giúp làm căng cơ lưng, giúp massage cổ, tăng cường sức khỏe tuyến giáp, giảm đau cổ và lưng. Đặc biệt, tư thế cây cầu này còn tốt cho hệ thần kinh nên sẽ giúp bạn khỏe hơn cả về vật chất và tinh thần.
Cách thực hiện
Bước 1: Bắt đầu với tư thế nằm ngửa trên thảm tập, 2 chân và 2 tay duỗi thẳng theo hướng thân
Bước 2: 2 tay bạn đặt xuôi cạnh hông-đùi
Bước 3: Gập đầu gối và dùng tay nắm lấy cổ chân bạn/ bạn cũng có thể không cần nắm cổ chân mà đan tay vào nhau đặt thẳng tay xuống thảm.
Bước 4: Khoảng cách giữa 2 bàn chân nên rộng bằng vai
Bước 5: Hít sâu nâng lưng của bạn lên. Cảm nhận sự căng của lưng và cổ
Bước 6: Giữ tư thế tầm 30s hoặc lâu hơn, tập trung vào hơi thở đều và chậm
Bước 7: Sau đó trở về tư thế ban đầu và lặp lại động tác 3 – 5 lần.
Tư thế con bò/con mèoLợi ích của tư thế con bò/con mèo này giúp kéo giãn, kết hợp giữa uốn lưng và thả lỏng, giúp cho lưng của bạn trở nên linh hoạt hơn. Các đốt cột sống được xoa dịu, giúp tăng cường sức khỏe của hệ thần kinh, mang lại năng lượng cho người tập, giúp giảm căng thẳng và lo âu.
Cách thực hiện
Bước 1: Quỳ gối trên sàn với hai tay và hai đầu gối chạm sàn. Hai chân mở rộng bằng vai, hai tay đặt song song vuông góc với sàn.
Bước 2: Lưu ý giữ nguyên tư thế sao cho đầu gối, bàn chân và cổ tay nằm trên một đường thẳng.
Bước 3: Giữ đầu ở vị trí thoải mái, mắt nhìn hướng lên trên.
Bước 4: Hít vào một hơi thật sâu. Đồng thời đẩy mông lên cao, lưng võng xuống. Mở ngực, đầu ngẩng cao hướng lên trần nhà. Chú ý siết hông hướng lên trên, siết cơ bụng hướng xuống.
Bước 5: Giữ tư thế trong vòng 10 – 20 giây.
Bước 6: Sau đó thoát tư thế và trở về tư thế chuẩn bị.
Bước 7: Lặp lại tư thế 5 – 6 lần.
Đăng bởi: Lâm Ngọc Thuỷ
Từ khoá: Thư giãn với các bài tập yoga ngăn chặn suy nghĩ tiêu cực
Cập nhật thông tin chi tiết về Các Bài Tập Với Dây Ngũ Sắc Tập Gym Full Body New 100% trên website Zlmn.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!